| 0 |
0.025641 |
39 |
${ \cal I } | _ { j ^ { a } ( j - 1 7 2 8 ) ^ { b } } \sim ( T - \rho ) ^ { 2 a - 2 } , $ |
39 |
${ \cal I } | _ { j ^ { a } ( j - 1 7 2 8 ) ^ { 0 } } \sim ( T - \rho ) ^ { 2 a - 2 } , $ |
{ \cal I } | _ { j ^ { a } ( j - 1 7 2 8 ) ^ { b } } \sim ( T - \rho ) ^ { 2 a - 2 } , |
{ \cal I } | _ { j ^ { a } ( j - 1 7 2 8 ) ^ { 0 } } \sim ( T - \rho ) ^ { 2 a - 2 } , |
| 1 |
0.035714 |
112 |
$\left[ 2 \partial _ { - } F _ { + i } ( x ^ { + } , \vec { x } ) , F _ { + - } ( x ^ { + } , \vec { y } ) \right] = - i \partial _ { i } ^ { x } ( \Delta _ { \perp } ) ^ { 2 } [ \Delta _ { 2 - 2 \delta } ] ^ { - 1 } ( x _ { \perp } - y _ { \perp } ) \delta ( { x ^ { - } } - y ^ { - } ) $ |
110 |
$[ 2 \partial _ { - } F _ { + i } ( x ^ { + } , \vec { x } ) , F _ { + - } ( x ^ { + } , \vec { y } ) ] = - i \partial _ { i } ^ { x } ( \Delta _ { \perp } ) ^ { 2 } [ \Delta _ { 2 - 2 \delta } ] ^ { - 1 } ( x _ { \perp } - y _ { \perp } ) \delta ( x ^ { - } - y ^ { - } ) $ |
\left[ 2 \partial _ { - } F _ { + i } ( x ^ { + } , \vec { x } ) , F _ { + - } ( x ^ { + } , \vec { y } ) \right] = - i \partial _ { i } ^ { x } ( \Delta _ { \perp } ) ^ { 2 } [ \Delta _ { 2 - 2 \delta } ] ^ { - 1 } ( x _ { \perp } - y _ { \perp } ) \delta ( { x ^ { - } } - y ^ { - } ) |
[ 2 \partial _ { - } F _ { + i } ( x ^ { + } , \vec { x } ) , F _ { + - } ( x ^ { + } , \vec { y } ) ] = - i \partial _ { i } ^ { x } ( \Delta _ { \perp } ) ^ { 2 } [ \Delta _ { 2 - 2 \delta } ] ^ { - 1 } ( x _ { \perp } - y _ { \perp } ) \delta ( x ^ { - } - y ^ { - } ) |
| 2 |
0.075758 |
66 |
$\delta _ { K } \left[ j _ { T } ^ { 0 } \bullet R _ { M N } \right] = \left( \mathrm { g l o b a l l y d e f i n e d ~ s m o o t h ~ s u r f a c e ~ t e r m } \right) \quad . $ |
66 |
$\delta _ { K } \left[ j _ { T } ^ { 0 } \circ R _ { M N } \right] = ( \mathrm { g l o b a l l y e d e f n e d ~ s m o o t h ~ s u r f a c e ~ t e r m } ) \quad . $ |
\delta _ { K } \left[ j _ { T } ^ { 0 } \bullet R _ { M N } \right] = \left( \mathrm { g l o b a l l y d e f i n e d ~ s m o o t h ~ s u r f a c e ~ t e r m } \right) \quad . |
\delta _ { K } \left[ j _ { T } ^ { 0 } \circ R _ { M N } \right] = ( \mathrm { g l o b a l l y e d e f n e d ~ s m o o t h ~ s u r f a c e ~ t e r m } ) \quad . |
| 3 |
0.214953 |
107 |
$\zeta ( \{ 2 p \} _ { n } ) = \frac { 2 p \cdot ( 2 \pi ) ^ { 2 p n } } { ( 2 p n + p ) ! } \left( \frac { 1 } { 2 \operatorname { s i n } \frac { \pi } { 2 p } } \right) ^ { 2 p n + p } \bigg \{ 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { N _ { p } } R _ { p , k } ^ { 2 p n + p } \bigg \} \, , $ |
116 |
$\zeta ( \{ 2 p \} _ { n } ) = \frac { 2 p \cdot ( 2 \pi ) ^ { 2 p _ { 0 } } } { ( 2 p n + p ) ! } \left( \frac { 1 } { 2 \operatorname { s i n } { \frac { \pi _ { 2 } } { 2 1 } } } \right) ^ { 2 p + n j } \left\{ 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { N _ { p } } R _ { p , k } ^ { 2 p _ { q } + p } \right\} , $ |
\zeta ( \{ 2 p \} _ { n } ) = \frac { 2 p \cdot ( 2 \pi ) ^ { 2 p n } } { ( 2 p n + p ) ! } \left( \frac { 1 } { 2 \operatorname { s i n } \frac { \pi } { 2 p } } \right) ^ { 2 p n + p } \bigg \{ 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { N _ { p } } R _ { p , k } ^ { 2 p n + p } \bigg \} \, , |
\zeta ( \{ 2 p \} _ { n } ) = \frac { 2 p \cdot ( 2 \pi ) ^ { 2 p _ { 0 } } } { ( 2 p n + p ) ! } \left( \frac { 1 } { 2 \operatorname { s i n } { \frac { \pi _ { 2 } } { 2 1 } } } \right) ^ { 2 p + n j } \left\{ 1 + \sum _ { k = 2 } ^ { N _ { p } } R _ { p , k } ^ { 2 p _ { q } + p } \right\} , |
| 4 |
0.069444 |
72 |
$\widetilde { \phi } ( - x - a ) = \Biggl ( \frac { C ^ { * } ( \omega ) } { C ( \omega ) } \operatorname { e x p } \left( i \int _ { - a + \epsilon } ^ { - \epsilon } d s \, k ( v ( s ) , \omega ) \Biggr ) \right) \, \phi ( x ) . $ |
69 |
$\widetilde { \phi } ( - x - a ) = \left( \frac { C ^ { * } ( \omega ) } { C ( \omega ) } \operatorname { e x p } \left( i \int _ { - a + \epsilon } ^ { - \epsilon } d s \, k ( v ( s ) , \omega ) \right) \right) \phi ( x ) . $ |
\widetilde { \phi } ( - x - a ) = \Biggl ( \frac { C ^ { * } ( \omega ) } { C ( \omega ) } \operatorname { e x p } \left( i \int _ { - a + \epsilon } ^ { - \epsilon } d s \, k ( v ( s ) , \omega ) \Biggr ) \right) \, \phi ( x ) . |
\widetilde { \phi } ( - x - a ) = \left( \frac { C ^ { * } ( \omega ) } { C ( \omega ) } \operatorname { e x p } \left( i \int _ { - a + \epsilon } ^ { - \epsilon } d s \, k ( v ( s ) , \omega ) \right) \right) \phi ( x ) . |
| 5 |
0.041667 |
48 |
$\Pi ( s ) = \frac { \pi ^ { 2 } R ^ { 4 } } { 2 \kappa _ { 6 } ^ { 2 } } [ s \operatorname { l n } ( - R ^ { 2 } s ) ] , $ |
48 |
$\Pi ( s ) = \frac { \pi ^ { 2 } R ^ { 4 } } { 2 \kappa _ { 6 } ^ { 2 } } \left[ s \operatorname { l n } ( - R ^ { 2 } s ) \right] , $ |
\Pi ( s ) = \frac { \pi ^ { 2 } R ^ { 4 } } { 2 \kappa _ { 6 } ^ { 2 } } [ s \operatorname { l n } ( - R ^ { 2 } s ) ] , |
\Pi ( s ) = \frac { \pi ^ { 2 } R ^ { 4 } } { 2 \kappa _ { 6 } ^ { 2 } } \left[ s \operatorname { l n } ( - R ^ { 2 } s ) \right] , |
| 6 |
0.066667 |
60 |
$\epsilon _ { i j k } \epsilon _ { A B } \left( U ^ { i } U ^ { j } U ^ { k } V ^ { A } V ^ { B } \right) _ { \mathrm { c o l o u r ~ s i n g l e t } } $ |
59 |
$\epsilon _ { i j k } \epsilon _ { A B } \left( U ^ { i } U ^ { j } U ^ { k } V ^ { A } V ^ { B } \right) _ { \mathrm { c o l o n r ~ s i p e l e } } $ |
\epsilon _ { i j k } \epsilon _ { A B } \left( U ^ { i } U ^ { j } U ^ { k } V ^ { A } V ^ { B } \right) _ { \mathrm { c o l o u r ~ s i n g l e t } } |
\epsilon _ { i j k } \epsilon _ { A B } \left( U ^ { i } U ^ { j } U ^ { k } V ^ { A } V ^ { B } \right) _ { \mathrm { c o l o n r ~ s i p e l e } } |
| 7 |
0.155172 |
58 |
$L ( k ) = i \Big \{ \Big ( { \frac { v _ { f } } { k \cdot v _ { f } } } \Big ) - \Big ( { \frac { v _ { i } } { k \cdot v _ { i } } } \Big ) \Big \} . $ |
53 |
$L ( k ) = i \Big \{ ( \frac { v _ { f } } { k \cdot v _ { f } } \Bigr ) - \bigl ( \frac { v _ { i } } { k \cdot v _ { i } } \Bigr ) \Bigr \} . $ |
L ( k ) = i \Big \{ \Big ( { \frac { v _ { f } } { k \cdot v _ { f } } } \Big ) - \Big ( { \frac { v _ { i } } { k \cdot v _ { i } } } \Big ) \Big \} . |
L ( k ) = i \Big \{ ( \frac { v _ { f } } { k \cdot v _ { f } } \Bigr ) - \bigl ( \frac { v _ { i } } { k \cdot v _ { i } } \Bigr ) \Bigr \} . |
| 8 |
0.138889 |
36 |
$Z ( A ) = \int { \cal D } h ( x ) \; \mathrm { e } ^ { - N ^ { 2 } S [ h ( x ) ] } , $ |
36 |
$Z ( A ) = \int { \cal D } h ( x ) \, \mathrm { e } ^ { - N ^ { 2 } S [ h , e ] ) } , $ |
Z ( A ) = \int { \cal D } h ( x ) \; \mathrm { e } ^ { - N ^ { 2 } S [ h ( x ) ] } , |
Z ( A ) = \int { \cal D } h ( x ) \, \mathrm { e } ^ { - N ^ { 2 } S [ h , e ] ) } , |
| 9 |
0.039604 |
101 |
$w _ { \alpha \beta } ^ { ( Q ^ { \prime } Q ) } ( p _ { Q ^ { \prime } } , p _ { Q } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s p i n s } \bar { u } _ { Q ^ { \prime } } O _ { \alpha } u _ { Q } \cdot \bar { u } _ { Q } O _ { \beta } ^ { + } u _ { Q ^ { \prime } } , $ |
97 |
$w _ { \alpha \beta } ^ { ( Q Q ) } ( p _ { Q ^ { \prime } } , p _ { Q } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s p i n s } \bar { u } _ { Q ^ { \prime } } O _ { \alpha } u _ { Q } \cdot \bar { u } _ { Q } O _ { \beta } ^ { + } u _ { Q ^ { \prime } } , $ |
w _ { \alpha \beta } ^ { ( Q ^ { \prime } Q ) } ( p _ { Q ^ { \prime } } , p _ { Q } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s p i n s } \bar { u } _ { Q ^ { \prime } } O _ { \alpha } u _ { Q } \cdot \bar { u } _ { Q } O _ { \beta } ^ { + } u _ { Q ^ { \prime } } , |
w _ { \alpha \beta } ^ { ( Q Q ) } ( p _ { Q ^ { \prime } } , p _ { Q } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s p i n s } \bar { u } _ { Q ^ { \prime } } O _ { \alpha } u _ { Q } \cdot \bar { u } _ { Q } O _ { \beta } ^ { + } u _ { Q ^ { \prime } } , |
| 10 |
0.104651 |
86 |
$\left( \Delta \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \Delta \right) _ { x y } = \frac { - \delta _ { \mu \nu } } { 8 \pi ^ { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } + \frac { ( x - y ) _ { \mu } ( x - y ) _ { \nu } } { 4 \pi ^ { 2 } \left| x - y \right| ^ { 4 } } $ |
91 |
$( \Delta \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \Delta ) _ { x y } = { \frac { - \delta _ { \mu \nu } } { 8 \pi ^ { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } } + { \frac { ( x - y ) _ { \mu } ( x - y ) _ { \nu } } { 4 \pi ^ { 2 } \, | x - y | ^ { 4 } } } $ |
\left( \Delta \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \Delta \right) _ { x y } = \frac { - \delta _ { \mu \nu } } { 8 \pi ^ { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } + \frac { ( x - y ) _ { \mu } ( x - y ) _ { \nu } } { 4 \pi ^ { 2 } \left| x - y \right| ^ { 4 } } |
( \Delta \partial _ { \mu } \partial _ { \nu } \Delta ) _ { x y } = { \frac { - \delta _ { \mu \nu } } { 8 \pi ^ { 2 } ( x - y ) ^ { 2 } } } + { \frac { ( x - y ) _ { \mu } ( x - y ) _ { \nu } } { 4 \pi ^ { 2 } \, | x - y | ^ { 4 } } } |
| 11 |
0.041667 |
72 |
${ \frac { ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { s o l } ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { a t m } } { m _ { \nu } ^ { 4 } ( \operatorname { s i n } ^ { 2 } 2 \theta ) _ { a t m } } } = 2 I ^ { 2 } , $ |
73 |
${ \frac { ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { s \lambda l } ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { a b t m } } { m _ { \nu } ^ { 4 } ( \mathrm { s i n } ^ { 2 } 2 \theta ) _ { a t m } } } = 2 I ^ { 2 } , $ |
{ \frac { ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { s o l } ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { a t m } } { m _ { \nu } ^ { 4 } ( \operatorname { s i n } ^ { 2 } 2 \theta ) _ { a t m } } } = 2 I ^ { 2 } , |
{ \frac { ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { s \lambda l } ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { a b t m } } { m _ { \nu } ^ { 4 } ( \mathrm { s i n } ^ { 2 } 2 \theta ) _ { a t m } } } = 2 I ^ { 2 } , |
| 12 |
0.053571 |
56 |
$( \nabla _ { x } ^ { 2 } + 1 ) ( B _ { 2 \mu } ^ { ( 1 ) } - \frac { 2 } { \sqrt { 2 } } b _ { \mu } ^ { ( 1 ) [ 1 2 ] } ) = 0 . $ |
57 |
$( \nabla _ { x } ^ { 2 } + 1 ) ( B _ { 2 \mu } ^ { ( 1 ) } - { \frac { 2 } { \sqrt { 2 } } } b _ { \mu } ^ { ( 1 ) [ 2 ] } ) = 0 . $ |
( \nabla _ { x } ^ { 2 } + 1 ) ( B _ { 2 \mu } ^ { ( 1 ) } - \frac { 2 } { \sqrt { 2 } } b _ { \mu } ^ { ( 1 ) [ 1 2 ] } ) = 0 . |
( \nabla _ { x } ^ { 2 } + 1 ) ( B _ { 2 \mu } ^ { ( 1 ) } - { \frac { 2 } { \sqrt { 2 } } } b _ { \mu } ^ { ( 1 ) [ 2 ] } ) = 0 . |
| 13 |
0.184783 |
92 |
$O _ { \mu , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \ldots , \mu _ { n } } ^ { n } = \bar { d } ( 0 ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \, i \! \! \stackrel { \leftrightarrow } { D } _ { \mu _ { 1 } } \ldots \, i \! \! \stackrel { \leftrightarrow } { D } _ { \mu _ { n } } u ( 0 ) \, , $ |
83 |
$O _ { \mu , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \ldots , \mu _ { n } } ^ { n } = \bar { d } = ( 0 ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \, i \partial _ { \mu _ { 1 } } \ldots i \stackrel { i } { i D _ { \mu _ { n } } } u ( 0 ) \, , $ |
O _ { \mu , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \ldots , \mu _ { n } } ^ { n } = \bar { d } ( 0 ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \, i \! \! \stackrel { \leftrightarrow } { D } _ { \mu _ { 1 } } \ldots \, i \! \! \stackrel { \leftrightarrow } { D } _ { \mu _ { n } } u ( 0 ) \, , |
O _ { \mu , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } , \ldots , \mu _ { n } } ^ { n } = \bar { d } = ( 0 ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } \, i \partial _ { \mu _ { 1 } } \ldots i \stackrel { i } { i D _ { \mu _ { n } } } u ( 0 ) \, , |
| 14 |
0.113636 |
132 |
$\widehat { M } [ A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) } & { \mathrm { i f ~ m _ 1 ~ \geq ~ m _ 2 ~ } } \\ { A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ m _ 1 ~ < ~ m _ 2 ~ } . } \\ \end{array} \right. $ |
129 |
$\widehat { M } [ A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) ] = \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) } & { \mathrm { i f ~ m _ 1 ~ } } \\ { ( A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ m _ 1 ~ } } & { m _ { 2 } } \\ \end{array} \right. . $ |
\widehat { M } [ A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) ] = \left\{ \begIn{array} { l l } { A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) } & { \mathrm { i f ~ m _ 1 ~ \geq ~ m _ 2 ~ } } \\ { A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ m _ 1 ~ < ~ m _ 2 ~ } . } \\ \end{array} \right. |
\widehat { M } [ A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) ] = \left\{ \begIn{array} { l l } { A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) } & { \mathrm { i f ~ m _ 1 ~ } } \\ { ( A _ { 2 } ( m _ { 2 } ) A _ { 1 } ( m _ { 1 } ) } & { \mathrm { i f ~ m _ 1 ~ } } & { m _ { 2 } } \\ \end{array} \right. . |
| 15 |
0.105263 |
38 |
$\hat { \hat { k } } ^ { 2 } = e ^ { - \frac { 2 } { 3 } \hat { \phi } } \hat { k } ^ { 2 } \, . $ |
34 |
${ \hat { k } } ^ { 2 } = e ^ { - \frac { 2 } { 3 } \hat { \phi } } k ^ { 2 } \, . $ |
\hat { \hat { k } } ^ { 2 } = e ^ { - \frac { 2 } { 3 } \hat { \phi } } \hat { k } ^ { 2 } \, . |
{ \hat { k } } ^ { 2 } = e ^ { - \frac { 2 } { 3 } \hat { \phi } } k ^ { 2 } \, . |
| 16 |
0.126437 |
87 |
$\langle 0 \left| T F _ { \mu \nu } ( x ) F _ { \alpha \beta } ( y ) \right| 0 \rangle \sim \frac { \Lambda _ { \mu \alpha } ( x - y ) \Lambda _ { \nu \beta } ( x - y ) - \Lambda _ { \mu \beta } ( x - y ) \Lambda _ { \nu \alpha } ( x - y ) } { ( x - y ) ^ { 4 } } \, . $ |
89 |
$\langle 0 | T F _ { \mu \nu } ( x ) F _ { \alpha \beta } ( y ) | 0 \rangle \sim \frac { \Lambda _ { \mu \alpha } ( x - y ) \Lambda _ { \nu \beta } ( x - y ) - \Lambda _ { \mu \beta } ( x - y ) \Lambda _ { \nu \alpha } ( x - s ) } { y ^ { 2 } - y ^ { 4 } } \; , $ |
\langle 0 \left| T F _ { \mu \nu } ( x ) F _ { \alpha \beta } ( y ) \right| 0 \rangle \sim \frac { \Lambda _ { \mu \alpha } ( x - y ) \Lambda _ { \nu \beta } ( x - y ) - \Lambda _ { \mu \beta } ( x - y ) \Lambda _ { \nu \alpha } ( x - y ) } { ( x - y ) ^ { 4 } } \, . |
\langle 0 | T F _ { \mu \nu } ( x ) F _ { \alpha \beta } ( y ) | 0 \rangle \sim \frac { \Lambda _ { \mu \alpha } ( x - y ) \Lambda _ { \nu \beta } ( x - y ) - \Lambda _ { \mu \beta } ( x - y ) \Lambda _ { \nu \alpha } ( x - s ) } { y ^ { 2 } - y ^ { 4 } } \; , |
| 17 |
0.088889 |
90 |
$\mathrm { I m } Z ^ { \prime } = 2 { \frac { m _ { t } } { m _ { b } } } { \frac { \operatorname { s i n } 2 \theta } { \operatorname { c o s } ^ { 2 } 2 \theta } } \, \mathrm { I m } ( V _ { R t b } V _ { L t b } ^ { * } e ^ { i \delta } ) \; , $ |
84 |
$\mathrm { I m } Z ^ { \prime } = 2 \frac { m _ { t } } { m _ { b } } \frac { \operatorname { s i n } 2 \theta } { \operatorname { c o s } ^ { 2 } 2 \theta } \operatorname { l m } ( V _ { R t b } V _ { L b } ^ { * } e ^ { i \delta } ) \; , $ |
\mathrm { I m } Z ^ { \prime } = 2 { \frac { m _ { t } } { m _ { b } } } { \frac { \operatorname { s i n } 2 \theta } { \operatorname { c o s } ^ { 2 } 2 \theta } } \, \mathrm { I m } ( V _ { R t b } V _ { L t b } ^ { * } e ^ { i \delta } ) \; , |
\mathrm { I m } Z ^ { \prime } = 2 \frac { m _ { t } } { m _ { b } } \frac { \operatorname { s i n } 2 \theta } { \operatorname { c o s } ^ { 2 } 2 \theta } \operatorname { l m } ( V _ { R t b } V _ { L b } ^ { * } e ^ { i \delta } ) \; , |
| 18 |
0.010638 |
94 |
$V ( | z | ) = \left( \frac { b } { 6 } \right) ^ { 2 } \frac { | z | ^ { 4 } } { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left\{ 3 \left( \operatorname { l o g } \left| \frac { z } { z _ { t r } } \right| ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + C _ { 2 } | z | ^ { 2 } \right\} . $ |
94 |
$V ( | z | ) = \left( \frac { b } { 6 } \right) ^ { 2 } \frac { | z | ^ { 4 } } { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left\{ 3 \left( \operatorname { l o g } \left| \frac { z } { z _ { r r } } \right| ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + C _ { 2 } | z | ^ { 2 } \right\} . $ |
V ( | z | ) = \left( \frac { b } { 6 } \right) ^ { 2 } \frac { | z | ^ { 4 } } { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left\{ 3 \left( \operatorname { l o g } \left| \frac { z } { z _ { t r } } \right| ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + C _ { 2 } | z | ^ { 2 } \right\} . |
V ( | z | ) = \left( \frac { b } { 6 } \right) ^ { 2 } \frac { | z | ^ { 4 } } { ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left\{ 3 \left( \operatorname { l o g } \left| \frac { z } { z _ { r r } } \right| ^ { 3 } \right) ^ { 2 } + C _ { 2 } | z | ^ { 2 } \right\} . |
| 19 |
0.185714 |
70 |
$T _ { a } = \left( \begin{matrix} { { \bf R } _ { a } } & { { \bf 0 } } & { 0 } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf S } _ { a } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Q _ { a } } \\ \end{matrix} \right) $ |
74 |
$T _ { a } = \left( \begin{array} { c c c } { { \bf L } _ { u } } & { { \bf 0 } } & { 0 } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf S } _ { a } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \bf 1 } } \\ \end{array} \right) $ |
T _ { a } = \left( \begIn{matrix} { { \bf R } _ { a } } & { { \bf 0 } } & { 0 } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf S } _ { a } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { Q _ { a } } \\ \end{matrix} \right) |
T _ { a } = \left( \begIn{array} { c c c } { { \bf L } _ { u } } & { { \bf 0 } } & { 0 } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf S } _ { a } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \bf 1 } } \\ \end{array} \right) |
| 20 |
0.009804 |
102 |
${ \cal L } = \frac { 1 } { F ^ { 2 } } \biggl ( \eta _ { L L } ( \bar { l } ^ { \prime } l ) _ { L } \, ( \bar { l } l ) _ { L } + \eta _ { L R } ( \bar { l } ^ { \prime } l ) _ { L } \, ( \bar { l } l ) _ { R } + ( L \leftrightarrow R ) + \mathrm { h . c . } \biggr ) , $ |
102 |
${ \cal L } = \frac { 1 } { F ^ { 2 } } \biggl ( \eta _ { L L } ( \bar { l } ^ { \prime } l ) _ { L } \, ( \bar { l } l ) _ { L } + \eta _ { L R } ( \bar { l } ^ { l } l ) _ { L } \, ( \bar { l } l ) _ { R } + ( L \leftrightarrow R ) + \mathrm { h . c . } \biggr ) , $ |
{ \cal L } = \frac { 1 } { F ^ { 2 } } \biggl ( \eta _ { L L } ( \bar { l } ^ { \prime } l ) _ { L } \, ( \bar { l } l ) _ { L } + \eta _ { L R } ( \bar { l } ^ { \prime } l ) _ { L } \, ( \bar { l } l ) _ { R } + ( L \leftrightarrow R ) + \mathrm { h . c . } \biggr ) , |
{ \cal L } = \frac { 1 } { F ^ { 2 } } \biggl ( \eta _ { L L } ( \bar { l } ^ { \prime } l ) _ { L } \, ( \bar { l } l ) _ { L } + \eta _ { L R } ( \bar { l } ^ { l } l ) _ { L } \, ( \bar { l } l ) _ { R } + ( L \leftrightarrow R ) + \mathrm { h . c . } \biggr ) , |
| 21 |
0.283784 |
74 |
$\mathrm { I } _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \, \frac { \operatorname { c o s } \, ( n \varphi ) } { \left[ 2 \operatorname { c o s } ( \varphi - \theta / 2 ) - \beta \right] \left[ 2 \operatorname { c o s } ( \varphi + \theta / 2 ) - \beta \right] } $ |
63 |
$1 _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \, \frac { 1 } { [ 2 \operatorname { c o s } ( \varphi - \theta / 2 ) - \beta ] \, [ 2 \, \operatorname { c o s } ( \varphi + \theta / 2 ) - \beta ] } $ |
\mathrm { I } _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \, \frac { \operatorname { c o s } \, ( n \varphi ) } { \left[ 2 \operatorname { c o s } ( \varphi - \theta / 2 ) - \beta \right] \left[ 2 \operatorname { c o s } ( \varphi + \theta / 2 ) - \beta \right] } |
1 _ { n } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi \, \frac { 1 } { [ 2 \operatorname { c o s } ( \varphi - \theta / 2 ) - \beta ] \, [ 2 \, \operatorname { c o s } ( \varphi + \theta / 2 ) - \beta ] } |
| 22 |
0.257576 |
66 |
$a \quad \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \quad \frac { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { M ( n ) } { n } } { \sigma _ { \perp } } \approx \frac { 1 } { G } \left( 0 . 8 3 \pm 0 . 0 2 \right) $ |
74 |
$a \ \ \stackrel { d \mathrm { e f f } } { = } \ \frac { \mathrm { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \ \frac { k ^ { 2 } ( n ) } { \pi } } { \sigma _ { \perp } } \approx \frac { 1 } { G } \, ( 0 . 8 3 \pm 0 . 0 2 ) $ |
a \quad \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \quad \frac { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { M ( n ) } { n } } { \sigma _ { \perp } } \approx \frac { 1 } { G } \left( 0 . 8 3 \pm 0 . 0 2 \right) |
a \ \ \stackrel { d \mathrm { e f f } } { = } \ \frac { \mathrm { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \ \frac { k ^ { 2 } ( n ) } { \pi } } { \sigma _ { \perp } } \approx \frac { 1 } { G } \, ( 0 . 8 3 \pm 0 . 0 2 ) |
| 23 |
0.048780 |
41 |
$f _ { -- } ^ { ~ + + } ( \xi ^ { m } ) = h ( \xi ^ { ( + + ) } ) e ^ { - 2 ( W + L ) } $ |
40 |
$f _ { - } ^ { + + } ( \xi ^ { m } ) = h ( \xi ^ { ( + + ) } ) e ^ { - 2 ( W + L ) } $ |
f _ { -- } ^ { ~ + + } ( \xi ^ { m } ) = h ( \xi ^ { ( + + ) } ) e ^ { - 2 ( W + L ) } |
f _ { - } ^ { + + } ( \xi ^ { m } ) = h ( \xi ^ { ( + + ) } ) e ^ { - 2 ( W + L ) } |
| 24 |
0.416667 |
60 |
$Z ( M , G ( \underline { x } ) ) = \sum _ { \underline { j } , \underline { { \tilde { J } } } } W ( \underline { j } , \underline { { \tilde { J } } } ) ( X , G ( \underline { x } ) ) . $ |
38 |
$Z ( M , G ( x ) ) = \sum _ { j , j } W ( \dot { j } , \tilde { f } ) ( X , G ( x ) ) . $ |
Z ( M , G ( \underline { x } ) ) = \sum _ { \underline { j } , \underline { { \tilde { J } } } } W ( \underline { j } , \underline { { \tilde { J } } } ) ( X , G ( \underline { x } ) ) . |
Z ( M , G ( x ) ) = \sum _ { j , j } W ( \dot { j } , \tilde { f } ) ( X , G ( x ) ) . |
| 25 |
0.098361 |
61 |
$\sum _ { \mu = 1 } ^ { d + 2 } u _ { \mu } ^ { \frac { D } { \delta _ { \mu } } } + a _ { 0 } \prod _ { \mu = 1 } ^ { d + 2 } \left( u _ { \mu } \right) = 0 . $ |
64 |
$\sum _ { \mu = 1 } ^ { d + 2 } \tilde { u } _ { \mu } ^ { \frac { D } { \mu _ { \mu } } } + a _ { 0 } \prod _ { \mu = 1 } ^ { d + 2 } ( u _ { \mu } ) = 0 . $ |
\sum _ { \mu = 1 } ^ { d + 2 } u _ { \mu } ^ { \frac { D } { \delta _ { \mu } } } + a _ { 0 } \prod _ { \mu = 1 } ^ { d + 2 } \left( u _ { \mu } \right) = 0 . |
\sum _ { \mu = 1 } ^ { d + 2 } \tilde { u } _ { \mu } ^ { \frac { D } { \mu _ { \mu } } } + a _ { 0 } \prod _ { \mu = 1 } ^ { d + 2 } ( u _ { \mu } ) = 0 . |
| 26 |
0.261682 |
107 |
$\frac { q ^ { \frac { r ( r - 1 ) } { 4 } } } { ( q , q ) _ { \infty } } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } ( q ^ { j [ j \nu ( \nu + 1 ) + r ( \nu + 1 ) - \nu ] } - q ^ { ( j \nu + r ) [ j ( \nu + 1 ) + 1 ] } ) \; ; \; \; \; \; \; r = 1 , 2 , \ldots , \nu - 1 , $ |
86 |
$\frac { T } { ( q , q ) _ { \infty } } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } ( q ^ { j ( j \nu ( \nu + 1 ) + r ( \nu + 1 ) - \nu ] } - q ^ { ( j \nu + r ) j ( \nu + 1 + 1 ) } ] \, ; \quad r = 1 , 2 , \dots , \nu - 1 , $ |
\frac { q ^ { \frac { r ( r - 1 ) } { 4 } } } { ( q , q ) _ { \infty } } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } ( q ^ { j [ j \nu ( \nu + 1 ) + r ( \nu + 1 ) - \nu ] } - q ^ { ( j \nu + r ) [ j ( \nu + 1 ) + 1 ] } ) \; ; \; \; \; \; \; r = 1 , 2 , \ldots , \nu - 1 , |
\frac { T } { ( q , q ) _ { \infty } } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } ( q ^ { j ( j \nu ( \nu + 1 ) + r ( \nu + 1 ) - \nu ] } - q ^ { ( j \nu + r ) j ( \nu + 1 + 1 ) } ] \, ; \quad r = 1 , 2 , \dots , \nu - 1 , |
| 27 |
0.016949 |
118 |
$V _ { N } \cong \left( \frac { \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } } { \mid \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } \mid } , \frac { \vec { N } _ { 2 } - \vec { N } _ { 2 } \cdot \hat { N } _ { 3 } \hat { N } _ { 3 } } { \mid \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } \mid } , \hat { N } _ { 3 } \right) . $ |
118 |
$V _ { N } \cong \left( \frac { \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } } { | \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } \mid } , \frac { \vec { N } _ { 2 } - \vec { N } _ { 2 } \cdot \hat { N } _ { 3 } \hat { N } _ { 3 } } { | \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } \mid } , \hat { N } _ { 3 } \right) . $ |
V _ { N } \cong \left( \frac { \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } } { \mid \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } \mid } , \frac { \vec { N } _ { 2 } - \vec { N } _ { 2 } \cdot \hat { N } _ { 3 } \hat { N } _ { 3 } } { \mid \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } \mid } , \hat { N } _ { 3 } \right) . |
V _ { N } \cong \left( \frac { \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } } { | \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } \mid } , \frac { \vec { N } _ { 2 } - \vec { N } _ { 2 } \cdot \hat { N } _ { 3 } \hat { N } _ { 3 } } { | \vec { N } _ { 2 } \times \hat { N } _ { 3 } \mid } , \hat { N } _ { 3 } \right) . |
| 28 |
0.072289 |
83 |
$\widetilde { \cal F } ^ { ( 1 ) } ( x ) = - \int d y \int d z \int d w \Phi ^ { j } ( y ) \omega _ { j k } ( y , z ) X ^ { k l } ( z , w ) \{ \Omega _ { l } ( w ) , { \cal F } ( x ) \} _ { ( { \cal F } ) } . $ |
82 |
${ \widetilde { \cal F } } ^ { ( 1 ) } ( x ) = - \int d y \int d z \int d w \Phi ^ { j } ( y ) \omega _ { j k } ( y , z ) X ^ { k l } ( z , w ) \{ \Omega _ { l } ( w ) , { \cal F } ( x ) \} _ { ( \varphi ) } . $ |
\widetilde { \cal F } ^ { ( 1 ) } ( x ) = - \int d y \int d z \int d w \Phi ^ { j } ( y ) \omega _ { j k } ( y , z ) X ^ { k l } ( z , w ) \{ \Omega _ { l } ( w ) , { \cal F } ( x ) \} _ { ( { \cal F } ) } . |
{ \widetilde { \cal F } } ^ { ( 1 ) } ( x ) = - \int d y \int d z \int d w \Phi ^ { j } ( y ) \omega _ { j k } ( y , z ) X ^ { k l } ( z , w ) \{ \Omega _ { l } ( w ) , { \cal F } ( x ) \} _ { ( \varphi ) } . |
| 29 |
0.117117 |
111 |
$\beta ( r ) _ { N u t } ^ { 2 } = \frac { \lambda \, c \, \, 2 ^ { n } \, r \, ( r - L ) \, L ^ { n } } { ( n + 1 ) ( r + L ) ^ { n } } \, \mathrm { { A p p e l l } } F _ { 1 } [ n + 1 , 2 , - n , n + 2 , 1 - \frac { r } { L } , \frac { L - r } { 2 L } ] . $ |
114 |
$\beta ( r ) _ { \mathrm { N u t d } } ^ { 2 } = \frac { \lambda \, c ^ { n } \, ^ { n } \, r ( r - L ) \, L ^ { n } } { ( n + 1 ) ( r + L ) ^ { n } } \, \mathrm { A p p e l l } F _ { 1 } [ n + 1 , 2 , - n , n + 2 , 1 - \frac { r } { L } , \frac { L - 1 } { 2 L } ] . $ |
\beta ( r ) _ { N u t } ^ { 2 } = \frac { \lambda \, c \, \, 2 ^ { n } \, r \, ( r - L ) \, L ^ { n } } { ( n + 1 ) ( r + L ) ^ { n } } \, \mathrm { { A p p e l l } } F _ { 1 } [ n + 1 , 2 , - n , n + 2 , 1 - \frac { r } { L } , \frac { L - r } { 2 L } ] . |
\beta ( r ) _ { \mathrm { N u t d } } ^ { 2 } = \frac { \lambda \, c ^ { n } \, ^ { n } \, r ( r - L ) \, L ^ { n } } { ( n + 1 ) ( r + L ) ^ { n } } \, \mathrm { A p p e l l } F _ { 1 } [ n + 1 , 2 , - n , n + 2 , 1 - \frac { r } { L } , \frac { L - 1 } { 2 L } ] . |
| 30 |
0.060606 |
66 |
$\sqrt { \bar { \chi } } = 2 \pi \beta _ { c } \hat { \phi } ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 2 4 \pi ^ { 2 } } { \lambda _ { T _ { c } } } \left( \frac { \phi } { T _ { c } } \right) ^ { 2 } \right] . $ |
62 |
$\sqrt { \bar { \chi } } = 2 \pi \beta _ { c } \hat { \phi } ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 2 4 \pi ^ { 2 } } { \lambda _ { T } } \left( \frac { \phi } { T _ { c } } \right) ^ { 2 } \right] . $ |
\sqrt { \bar { \chi } } = 2 \pi \beta _ { c } \hat { \phi } ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 2 4 \pi ^ { 2 } } { \lambda _ { T _ { c } } } \left( \frac { \phi } { T _ { c } } \right) ^ { 2 } \right] . |
\sqrt { \bar { \chi } } = 2 \pi \beta _ { c } \hat { \phi } ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 2 4 \pi ^ { 2 } } { \lambda _ { T } } \left( \frac { \phi } { T _ { c } } \right) ^ { 2 } \right] . |
| 31 |
0.255319 |
47 |
$\hat { K } ^ { 2 } = \hat { J } ^ { 2 } + \frac 1 4 , \ \hat { J } ^ { 2 } = ( L + \frac 1 2 { \bf \sigma ) } ^ { 2 } $ |
49 |
$\hat { K } ^ { 2 } = \hat { J } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } , \ J ^ { 2 } = ( L + \frac { 1 } { 2 } \sigma ) ^ { 2 } $ |
\hat { K } ^ { 2 } = \hat { J } ^ { 2 } + \frac 1 4 , \ \hat { J } ^ { 2 } = ( L + \frac 1 2 { \bf \sigma ) } ^ { 2 } |
\hat { K } ^ { 2 } = \hat { J } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } , \ J ^ { 2 } = ( L + \frac { 1 } { 2 } \sigma ) ^ { 2 } |
| 32 |
0.132743 |
113 |
$\begin{array} { l l } { H _ { e f f } = } & { \frac { 1 } { m _ { X } ^ { J - 1 } } [ f _ { 1 } T r ( X P P ) + f _ { 2 } T r ( X ) T r ( P P ) } \\ { } & { + f _ { 3 } T r ( X P ) T r ( P ) + f _ { 4 } T r ( X ) T r ( P ) T r ( P ) ] , } \\ \end{array} $ |
110 |
$\begin{array} { c } { H _ { e f f } = - \frac { 1 } { m _ { P } ^ { * } } [ f _ { 1 } T ( X P P ) + f _ { 2 } T r ( X ) T r ( P P ) } \\ { } & { + f _ { 3 } T _ { r } T ( X P ) T r ( P ) + f _ { 4 } T r ( X ) T r ( P ) T ( P ) ] , } \\ \end{array} $ |
\begIn{array} { l l } { H _ { e f f } = } & { \frac { 1 } { m _ { X } ^ { J - 1 } } [ f _ { 1 } T r ( X P P ) + f _ { 2 } T r ( X ) T r ( P P ) } \\ { } & { + f _ { 3 } T r ( X P ) T r ( P ) + f _ { 4 } T r ( X ) T r ( P ) T r ( P ) ] , } \\ \end{array} |
\begIn{array} { c } { H _ { e f f } = - \frac { 1 } { m _ { P } ^ { * } } [ f _ { 1 } T ( X P P ) + f _ { 2 } T r ( X ) T r ( P P ) } \\ { } & { + f _ { 3 } T _ { r } T ( X P ) T r ( P ) + f _ { 4 } T r ( X ) T r ( P ) T ( P ) ] , } \\ \end{array} |
| 33 |
0.341085 |
129 |
$\left\{ \begin{array} { l } { { \cal F _ { A } } \operatorname* { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } { \cal F } _ { { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } { \cal B } } - { \cal F _ { A } F _ { B } } = 0 \; \; \mathrm { f o r } \; \; { \cal A , B } \; \; \mathrm { o f ~ { \bf ~ V } - t y p e } \; , } \\ { 0 \; \; \mathrm { o t h e r w i s e } \; . } \\ \end{array} \right. $ |
132 |
$\left\{ \begin{array} { l } { \mathcal { F } _ { A } \operatorname { l i m } _ { f ^ { \prime } \to \to \infty } { \cal F } _ { l ^ { \prime } k } = { \cal F } _ { \cal A } { \cal F } _ { S } = 0 , \; \; \mathrm { f o r } \; \; { \cal A } , { \bf B } \; \; \mathrm { o f } \; \; { \bf V } - i \, \mathrm { f p e } \; , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r i s e } \; . } \\ \end{array} \right. $ |
\left\{ \begIn{array} { l } { { \cal F _ { A } } \operatorname* { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } { \cal F } _ { { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } { \cal B } } - { \cal F _ { A } F _ { B } } = 0 \; \; \mathrm { f o r } \; \; { \cal A , B } \; \; \mathrm { o f ~ { \bf ~ V } - t y p e } \; , } \\ { 0 \; \; \mathrm { o t h e r w i s e } \; . } \\ \end{array} \right. |
\left\{ \begIn{array} { l } { \mathcal { F } _ { A } \operatorname { l i m } _ { f ^ { \prime } \to \to \infty } { \cal F } _ { l ^ { \prime } k } = { \cal F } _ { \cal A } { \cal F } _ { S } = 0 , \; \; \mathrm { f o r } \; \; { \cal A } , { \bf B } \; \; \mathrm { o f } \; \; { \bf V } - i \, \mathrm { f p e } \; , } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r i s e } \; . } \\ \end{array} \right. |
| 34 |
0.500000 |
30 |
$a = 1 : \qquad n _ { p h } = \mathrm { { \bf ~ 8 _ b ~ + ~ 1 _ f ~ } } . $ |
34 |
$a = 1 : \qquad n _ { p h } = \ { \bf k } _ { \lambda } \ + \ { \bf 1 } _ { \xi } \ . $ |
a = 1 : \qquad n _ { p h } = \mathrm { { \bf ~ 8 _ b ~ + ~ 1 _ f ~ } } . |
a = 1 : \qquad n _ { p h } = \ { \bf k } _ { \lambda } \ + \ { \bf 1 } _ { \xi } \ . |
| 35 |
0.127273 |
55 |
$D _ { \mu } { \mit \Phi } ^ { A } : = \left( \partial _ { \mu } \delta ^ { A B } + g f ^ { A i B } A _ { \mu } ^ { i } \right) { \mit \Phi } ^ { B } , $ |
49 |
$D _ { \mu } \Phi ^ { A } : = \left( \partial _ { \mu } \delta ^ { A B } + g f ^ { A i B } A _ { \mu } ^ { i } \right) \phi ^ { B } , $ |
D _ { \mu } { \mit \Phi } ^ { A } : = \left( \partial _ { \mu } \delta ^ { A B } + g f ^ { A i B } A _ { \mu } ^ { i } \right) { \mit \Phi } ^ { B } , |
D _ { \mu } \Phi ^ { A } : = \left( \partial _ { \mu } \delta ^ { A B } + g f ^ { A i B } A _ { \mu } ^ { i } \right) \phi ^ { B } , |
| 36 |
0.090909 |
44 |
$\rho ( p , z = 0 ) \approx \mathrm { c o n s t . } \times { \widehat M } _ { P } ^ { 3 - D } \Delta ^ { 2 } T ( p ) ~ . $ |
44 |
$\rho ( p , z = 0 ) \approx \operatorname { c o n s t . } \times \widetilde { M } _ { P } ^ { 3 - D } \Delta ^ { 2 } T ( p ) \ . $ |
\rho ( p , z = 0 ) \approx \mathrm { c o n s t . } \times { \widehat M } _ { P } ^ { 3 - D } \Delta ^ { 2 } T ( p ) ~ . |
\rho ( p , z = 0 ) \approx \operatorname { c o n s t . } \times \widetilde { M } _ { P } ^ { 3 - D } \Delta ^ { 2 } T ( p ) \ . |
| 37 |
0.250000 |
72 |
$\vec { p } \vec { \epsilon _ { 1 , 2 } } = | \vec { p } | [ s i n \theta c o s \Phi ( \hat { x } \vec { \epsilon _ { 1 , 2 } } ) + s i n \theta s i n \Phi ( \hat { y } \vec { \epsilon _ { 1 , 2 } } ) ] $ |
76 |
$\vec { p } \epsilon _ { 1 , 2 } ^ { - } = | \vec { p } | [ s i n \theta c o s { \Phi } ( \hat { x } \epsilon _ { 1 , 2 } ^ { - } ) + s i n \theta s i n \Phi ( \hat { y } _ { 1 , 2 } ^ { - } ) ] $ |
\vec { p } \vec { \epsilon _ { 1 , 2 } } = | \vec { p } | [ s i n \theta c o s \Phi ( \hat { x } \vec { \epsilon _ { 1 , 2 } } ) + s i n \theta s i n \Phi ( \hat { y } \vec { \epsilon _ { 1 , 2 } } ) ] |
\vec { p } \epsilon _ { 1 , 2 } ^ { - } = | \vec { p } | [ s i n \theta c o s { \Phi } ( \hat { x } \epsilon _ { 1 , 2 } ^ { - } ) + s i n \theta s i n \Phi ( \hat { y } _ { 1 , 2 } ^ { - } ) ] |
| 38 |
0.070922 |
141 |
$m _ { b } ^ { \overline { \mathrm { D R } } } ( m _ { Z } ^ { > } ) = m _ { b } ^ { \overline { \mathrm { M S } } } ( m _ { Z } ^ { > } ) \left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \frac { \alpha _ { s } ^ { \overline { \mathrm { M S } } } ( m _ { Z } ) } { \pi } - \frac { 2 9 } { 7 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } ^ { \overline { \mathrm { M S } } } ( m _ { Z } ) } { \pi } \right) ^ { 2 } \right) . $ |
132 |
$m _ { b } ^ { \overline { \mathrm { D R } } } ( m _ { Z } ^ { > } ) = m _ { b } ^ { \mathrm { M S } } ( m _ { Z } ^ { > } ) \left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \frac { m _ { s } ^ { \mathrm { M S } } ( m _ { Z } ) } { \pi } - \frac { 2 9 } { 7 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } ^ { \mathrm { M S } } ( m _ { Z } ) } { \pi } \right) ^ { 2 } \right) . $ |
m _ { b } ^ { \overline { \mathrm { D R } } } ( m _ { Z } ^ { > } ) = m _ { b } ^ { \overline { \mathrm { M S } } } ( m _ { Z } ^ { > } ) \left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \frac { \alpha _ { s } ^ { \overline { \mathrm { M S } } } ( m _ { Z } ) } { \pi } - \frac { 2 9 } { 7 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } ^ { \overline { \mathrm { M S } } } ( m _ { Z } ) } { \pi } \right) ^ { 2 } \right) . |
m _ { b } ^ { \overline { \mathrm { D R } } } ( m _ { Z } ^ { > } ) = m _ { b } ^ { \mathrm { M S } } ( m _ { Z } ^ { > } ) \left( 1 - \frac { 1 } { 3 } \frac { m _ { s } ^ { \mathrm { M S } } ( m _ { Z } ) } { \pi } - \frac { 2 9 } { 7 2 } \left( \frac { \alpha _ { s } ^ { \mathrm { M S } } ( m _ { Z } ) } { \pi } \right) ^ { 2 } \right) . |
| 39 |
0.192982 |
114 |
$\hat { \hat { T } } _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } = - \left( i _ { \hat { \hat { k } } _ { ( n ) } } \hat { \hat { C } } \right) _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } Q ^ { n m } \hat { \hat { k } } _ { ( m ) } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } \, . $ |
102 |
$\hat { T } _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } = - \bigl ( i _ { \hat { k } _ { ( n ) } } \hat { \hat { C } \, } \Bigr ) _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \nu } } Q ^ { m n } \hat { k } _ { ( m ) } { } ^ { \hat { \rho } } \, . $ |
\hat { \hat { T } } _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } = - \left( i _ { \hat { \hat { k } } _ { ( n ) } } \hat { \hat { C } } \right) _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } Q ^ { n m } \hat { \hat { k } } _ { ( m ) } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } \, . |
\hat { T } _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } = - \bigl ( i _ { \hat { k } _ { ( n ) } } \hat { \hat { C } \, } \Bigr ) _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \nu } } Q ^ { m n } \hat { k } _ { ( m ) } { } ^ { \hat { \rho } } \, . |
| 40 |
0.097222 |
72 |
$S _ { B } ^ { i } = \frac { 1 } { \sqrt 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g _ { E } ^ { ( 4 ) } } \frac { [ \alpha _ { I } ^ { i } ] X ^ { I } } { \cal V } $ |
73 |
$S _ { B } ^ { i } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g _ { E } ^ { ( 4 ) } [ \frac { \alpha _ { l } ^ { i } } ] X ^ { I } } { V } $ |
S _ { B } ^ { i } = \frac { 1 } { \sqrt 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g _ { E } ^ { ( 4 ) } } \frac { [ \alpha _ { I } ^ { i } ] X ^ { I } } { \cal V } |
S _ { B } ^ { i } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g _ { E } ^ { ( 4 ) } [ \frac { \alpha _ { l } ^ { i } } ] X ^ { I } } { V } |
| 41 |
0.070588 |
85 |
$S = \int _ { M } d ^ { D } x \sqrt { | \tilde { g } | } \left[ \tilde { R } - \left( \omega + { \frac { D - 1 } { D - 2 } } \right) ( \tilde { \nabla } \phi ) ^ { 2 } \right] + 2 \int _ { \partial M } d ^ { D - 1 } x \sqrt { | h | } \tilde { K } \ . $ |
83 |
$S = \int _ { M } d ^ { D } x \sqrt { | \tilde { g } | } \left[ \tilde { R } - \left( \omega + \frac { D - 1 } { D - 2 } \right) \left( \tilde { \nabla } \phi \right) ^ { 2 } \right] + 2 \int _ { \partial M } d ^ { D - 1 } x \sqrt { | h | \tilde { K } } \ . $ |
S = \int _ { M } d ^ { D } x \sqrt { | \tilde { g } | } \left[ \tilde { R } - \left( \omega + { \frac { D - 1 } { D - 2 } } \right) ( \tilde { \nabla } \phi ) ^ { 2 } \right] + 2 \int _ { \partial M } d ^ { D - 1 } x \sqrt { | h | } \tilde { K } \ . |
S = \int _ { M } d ^ { D } x \sqrt { | \tilde { g } | } \left[ \tilde { R } - \left( \omega + \frac { D - 1 } { D - 2 } \right) \left( \tilde { \nabla } \phi \right) ^ { 2 } \right] + 2 \int _ { \partial M } d ^ { D - 1 } x \sqrt { | h | \tilde { K } } \ . |
| 42 |
0.134752 |
141 |
$\mathrm { R e } \, \chi _ { T } ^ { \mathrm { D } } ( \omega ) = - \frac { \hbar A } { \pi ^ { 2 } } \int \int _ { R _ { 4 } } d \omega _ { \mathrm { i n } } d k _ { \| } k _ { \| } \sqrt { k _ { \| } ^ { 2 } - ( \omega + \omega _ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } \sqrt { \omega _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } - k _ { \| } ^ { 2 } } \; { \overline { n } } ( - \omega _ { \mathrm { i n } } ) $ |
146 |
$\mathrm { R e } \, \chi _ { T } ^ { \mathrm { D } } ( \omega ) = - \frac { \hbar \bar { A } A } { \pi ^ { 2 } } \int \int _ { R _ { \mathrm { i } } } d \omega _ { \mathrm { m } } d k _ { \parallel } k _ { \parallel } \sqrt { k _ { \parallel } ^ { 2 } - ( \omega + \omega _ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } \sqrt { \omega _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } - k _ { \parallel } ^ { 2 } } \, \overline { { n } } ( - \omega _ { \mathrm { m } } ) $ |
\mathrm { R e } \, \chi _ { T } ^ { \mathrm { D } } ( \omega ) = - \frac { \hbar A } { \pi ^ { 2 } } \int \int _ { R _ { 4 } } d \omega _ { \mathrm { i n } } d k _ { \| } k _ { \| } \sqrt { k _ { \| } ^ { 2 } - ( \omega + \omega _ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } \sqrt { \omega _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } - k _ { \| } ^ { 2 } } \; { \overline { n } } ( - \omega _ { \mathrm { i n } } ) |
\mathrm { R e } \, \chi _ { T } ^ { \mathrm { D } } ( \omega ) = - \frac { \hbar \bar { A } A } { \pi ^ { 2 } } \int \int _ { R _ { \mathrm { i } } } d \omega _ { \mathrm { m } } d k _ { \parallel } k _ { \parallel } \sqrt { k _ { \parallel } ^ { 2 } - ( \omega + \omega _ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } } \sqrt { \omega _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } - k _ { \parallel } ^ { 2 } } \, \overline { { n } } ( - \omega _ { \mathrm { m } } ) |
| 43 |
0.059701 |
134 |
$| \alpha , P ^ { + } , P _ { \bot } , \lambda \rangle = \sum _ { n , \lambda _ { i } } \int ^ { \prime } \frac { \, d x _ { i } d ^ { 2 } k _ { \bot i } \, } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } | n , x _ { i } P ^ { + } , x _ { i } P _ { \bot } + k _ { \bot i } , \lambda _ { i } \rangle \Phi _ { n / \alpha } ( x _ { i } , k _ { \bot i } , \lambda _ { i } ) \, , $ |
132 |
$| \alpha , P ^ { 2 } , P _ { \perp } , \lambda \rangle = \sum _ { n , \lambda _ { i } } \int ^ { \prime } \frac { d x _ { i } d ^ { 2 } k _ { \perp i } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } | n , x _ { i } P ^ { + } , x _ { i } P _ { \perp } + k _ { \perp i } , \lambda _ { i } \rangle \Phi _ { n / \alpha } ( x _ { i } , k _ { \perp i } , \lambda _ { i } ) \, , $ |
| \alpha , P ^ { + } , P _ { \bot } , \lambda \rangle = \sum _ { n , \lambda _ { i } } \int ^ { \prime } \frac { \, d x _ { i } d ^ { 2 } k _ { \bot i } \, } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } | n , x _ { i } P ^ { + } , x _ { i } P _ { \bot } + k _ { \bot i } , \lambda _ { i } \rangle \Phi _ { n / \alpha } ( x _ { i } , k _ { \bot i } , \lambda _ { i } ) \, , |
| \alpha , P ^ { 2 } , P _ { \perp } , \lambda \rangle = \sum _ { n , \lambda _ { i } } \int ^ { \prime } \frac { d x _ { i } d ^ { 2 } k _ { \perp i } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } | n , x _ { i } P ^ { + } , x _ { i } P _ { \perp } + k _ { \perp i } , \lambda _ { i } \rangle \Phi _ { n / \alpha } ( x _ { i } , k _ { \perp i } , \lambda _ { i } ) \, , |
| 44 |
0.073684 |
95 |
$\chi _ { h } ( q ) = { \frac { q ^ { - c / 2 4 + h } } { ( q ) _ { \infty } } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \big ( q ^ { k ( k p p ^ { \prime } + r p - s p ^ { \prime } ) } - q ^ { ( k p + s ) ( k p ^ { \prime } + r ) } \big ) $ |
92 |
$\chi _ { h } ( q ) = \frac { q ^ { - c / 2 4 + h } } { ( q ) _ { \infty } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left( q ^ { k ( k p p ^ { \prime } + r p - s p ^ { \prime } ) } - q ^ { ( k p + s ) ( k / p ^ { \prime } + r ) } \right) $ |
\chi _ { h } ( q ) = { \frac { q ^ { - c / 2 4 + h } } { ( q ) _ { \infty } } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \big ( q ^ { k ( k p p ^ { \prime } + r p - s p ^ { \prime } ) } - q ^ { ( k p + s ) ( k p ^ { \prime } + r ) } \big ) |
\chi _ { h } ( q ) = \frac { q ^ { - c / 2 4 + h } } { ( q ) _ { \infty } } \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \left( q ^ { k ( k p p ^ { \prime } + r p - s p ^ { \prime } ) } - q ^ { ( k p + s ) ( k / p ^ { \prime } + r ) } \right) |
| 45 |
0.022727 |
88 |
$\Delta _ { \alpha \beta } = - 4 \sum _ { i < j } \widetilde { J } _ { \alpha \beta } ^ { i j } I m [ A _ { i j } ] = 4 \sum _ { i < j } \widetilde { J } _ { \alpha \beta } ^ { i j } \frac { x _ { i j } } { 1 + x _ { i j } ^ { 2 } } \ . $ |
87 |
$\Delta _ { \alpha \beta } = - 4 \sum _ { i < j } \widetilde { J } _ { \alpha \beta } ^ { j } I m [ A _ { i j } ] = 4 \sum _ { i < j } \widetilde { J } _ { \alpha \beta } ^ { i j } \frac { x _ { i j } } { 1 + x _ { i j } ^ { 2 } } \; . $ |
\Delta _ { \alpha \beta } = - 4 \sum _ { i < j } \widetilde { J } _ { \alpha \beta } ^ { i j } I m [ A _ { i j } ] = 4 \sum _ { i < j } \widetilde { J } _ { \alpha \beta } ^ { i j } \frac { x _ { i j } } { 1 + x _ { i j } ^ { 2 } } \ . |
\Delta _ { \alpha \beta } = - 4 \sum _ { i < j } \widetilde { J } _ { \alpha \beta } ^ { j } I m [ A _ { i j } ] = 4 \sum _ { i < j } \widetilde { J } _ { \alpha \beta } ^ { i j } \frac { x _ { i j } } { 1 + x _ { i j } ^ { 2 } } \; . |
| 46 |
0.157895 |
38 |
$= \sum _ { i } \tilde { c } _ { i } \tilde { t } _ { i } e _ { \nu _ { i } ^ { * } } { } . $ |
33 |
$= \sum _ { i } \tilde { c } _ { i } \epsilon _ { i } e _ { \nu _ { i } ^ { * } } . $ |
= \sum _ { i } \tilde { c } _ { i } \tilde { t } _ { i } e _ { \nu _ { i } ^ { * } } { } . |
= \sum _ { i } \tilde { c } _ { i } \epsilon _ { i } e _ { \nu _ { i } ^ { * } } . |
| 47 |
0.107143 |
84 |
${ \cal L } _ { N J L } \, = \, \bar { q } i \! \not \! \partial q \, + \, \frac { g _ { 0 } } { 4 N _ { c } \Lambda ^ { 2 } } \, \left[ ( \bar { q } q ) ^ { 2 } - ( \bar { q } \gamma _ { 5 } \tau ^ { a } q ) ^ { 2 } \right] . $ |
86 |
${ \cal L } _ { N J L } \; = \; \bar { q } \; i \! \not \! q \; + \; { \frac { g _ { 0 } } { 4 N _ { c } \Lambda ^ { 2 } } } \; \left[ ( \bar { q } q ) ^ { 2 } - ( \bar { q } \gamma _ { 5 } \tau ^ { a } q ) ^ { 2 } \right] . $ |
{ \cal L } _ { N J L } \, = \, \bar { q } i \! \not \! \partial q \, + \, \frac { g _ { 0 } } { 4 N _ { c } \Lambda ^ { 2 } } \, \left[ ( \bar { q } q ) ^ { 2 } - ( \bar { q } \gamma _ { 5 } \tau ^ { a } q ) ^ { 2 } \right] . |
{ \cal L } _ { N J L } \; = \; \bar { q } \; i \! \not \! q \; + \; { \frac { g _ { 0 } } { 4 N _ { c } \Lambda ^ { 2 } } } \; \left[ ( \bar { q } q ) ^ { 2 } - ( \bar { q } \gamma _ { 5 } \tau ^ { a } q ) ^ { 2 } \right] . |
| 48 |
0.037037 |
108 |
$P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \operatorname { c o s } 2 \theta \operatorname { c o s } 2 \bar { \theta } ) - \frac { 1 } { 2 } s i n 2 \theta s i n 2 \bar { \theta } \cdot c o s ( \int _ { 0 } ^ { t } \delta _ { 3 } d t ^ { \prime } ) e ^ { - \frac { \alpha + \gamma } { 2 } t } . $ |
110 |
$P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \operatorname { c o s } 2 \theta \operatorname { c o s } 2 \bar { \theta } ) - \frac { 1 } { 2 } s i n 2 \theta s i n 2 \bar { \theta } \cdot c o s ( \int _ { 0 } ^ { t } \delta _ { 3 } d t ^ { \prime } ) e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } t } . $ |
P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \operatorname { c o s } 2 \theta \operatorname { c o s } 2 \bar { \theta } ) - \frac { 1 } { 2 } s i n 2 \theta s i n 2 \bar { \theta } \cdot c o s ( \int _ { 0 } ^ { t } \delta _ { 3 } d t ^ { \prime } ) e ^ { - \frac { \alpha + \gamma } { 2 } t } . |
P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \operatorname { c o s } 2 \theta \operatorname { c o s } 2 \bar { \theta } ) - \frac { 1 } { 2 } s i n 2 \theta s i n 2 \bar { \theta } \cdot c o s ( \int _ { 0 } ^ { t } \delta _ { 3 } d t ^ { \prime } ) e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } t } . |
| 49 |
0.026316 |
38 |
$\alpha _ { R } ( Q ) = \frac { \alpha } { 1 - \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \operatorname { l n } \frac { Q } { m } } $ |
38 |
$\alpha _ { R } ( Q ) = \frac { \alpha } { 1 - \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \operatorname { l n } \frac { Q } { Q } } $ |
\alpha _ { R } ( Q ) = \frac { \alpha } { 1 - \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \operatorname { l n } \frac { Q } { m } } |
\alpha _ { R } ( Q ) = \frac { \alpha } { 1 - \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \operatorname { l n } \frac { Q } { Q } } |
| 50 |
0.042857 |
70 |
$A _ { j } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial f } { \partial Q _ { j } } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial { Q _ { j } } ^ { 2 } } \; , \; \; B _ { j } = 0 \; , $ |
69 |
$A _ { j } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial f } { \partial Q _ { j } } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial Q _ { j } ^ { ~ 2 } } \; , \; \; B _ { j } = 0 \; , $ |
A _ { j } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial f } { \partial Q _ { j } } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial { Q _ { j } } ^ { 2 } } \; , \; \; B _ { j } = 0 \; , |
A _ { j } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \partial f } { \partial Q _ { j } } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial Q _ { j } ^ { ~ 2 } } \; , \; \; B _ { j } = 0 \; , |
| 51 |
0.068182 |
44 |
$H ^ { \mu \nu \rho ^ { \prime } \rho ^ { \prime \prime } } ( 0 ) = g ^ { 2 } U ^ { \mu \nu \rho ^ { \prime } \rho ^ { \prime \prime } } . $ |
43 |
$H ^ { \mu \nu \rho ^ { \prime } \rho ^ { \prime } } ( 0 ) = g ^ { 2 } U ^ { \mu \nu \rho \rho ^ { \prime } \rho ^ { \prime } } . $ |
H ^ { \mu \nu \rho ^ { \prime } \rho ^ { \prime \prime } } ( 0 ) = g ^ { 2 } U ^ { \mu \nu \rho ^ { \prime } \rho ^ { \prime \prime } } . |
H ^ { \mu \nu \rho ^ { \prime } \rho ^ { \prime } } ( 0 ) = g ^ { 2 } U ^ { \mu \nu \rho \rho ^ { \prime } \rho ^ { \prime } } . |
| 52 |
0.056911 |
123 |
$e V ^ { \mathrm { Q E D _ { 3 } } } ( \vec { r } ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \left( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi m } \right) K _ { 0 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) + \frac { 8 } { m r ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r K _ { 1 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) \right] L . $ |
125 |
$e V ^ { - 1 W _ { 3 } D _ { 3 } } ( \vec { r } ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \left( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi m } \right) K _ { 0 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) + \frac { 8 } { m r ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r K _ { 1 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) \right] L . $ |
e V ^ { \mathrm { Q E D _ { 3 } } } ( \vec { r } ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \left( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi m } \right) K _ { 0 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) + \frac { 8 } { m r ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r K _ { 1 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) \right] L . |
e V ^ { - 1 W _ { 3 } D _ { 3 } } ( \vec { r } ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi } \left( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi m } \right) K _ { 0 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) + \frac { 8 } { m r ^ { 2 } } \left[ 1 - \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r K _ { 1 } \left( \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi } r \right) \right] L . |
| 53 |
0.009259 |
108 |
$\overline { { | { \cal A } | } } ^ { 2 } = \frac { 2 7 \pi ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 3 } ( 4 \pi ) ^ { 3 } } { 1 6 } \frac { s ^ { 2 } } { k _ { t } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } | { \cal I } | ^ { 2 } . $ |
107 |
$\overline { { | { \cal A } | } } ^ { 2 } = \frac { 2 7 \pi ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 3 } ( 4 \pi ) ^ { 3 } } { 6 } \frac { s ^ { 2 } } { k _ { t } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } | { \cal I } | ^ { 2 } . $ |
\overline { { | { \cal A } | } } ^ { 2 } = \frac { 2 7 \pi ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 3 } ( 4 \pi ) ^ { 3 } } { 1 6 } \frac { s ^ { 2 } } { k _ { t } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } | { \cal I } | ^ { 2 } . |
\overline { { | { \cal A } | } } ^ { 2 } = \frac { 2 7 \pi ^ { 2 } \alpha _ { s } ^ { 3 } ( 4 \pi ) ^ { 3 } } { 6 } \frac { s ^ { 2 } } { k _ { t } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { k _ { T } ^ { 2 } } { M _ { X } ^ { 2 } } ) ^ { 2 } | { \cal I } | ^ { 2 } . |
| 54 |
0.128571 |
70 |
$c S _ { a n o m , E u c l } = + { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 \pi } } \int \, d ^ { 2 } x \, \sqrt { \bar { g } } \bigl [ ( { \overline { \nabla } } \sigma ) ^ { 2 } + \overline { R } \sigma \bigr ] \, $ |
67 |
$c S _ { a n o m , E u e l } = + \frac { Q ^ { 2 } } { 4 \pi } \int \, d ^ { 2 } x \, \sqrt { \bar { g } } \bigl [ \overline { { \nabla } } \sigma ) ^ { 2 } + \overline { { R } } \sigma ] $ |
c S _ { a n o m , E u c l } = + { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 \pi } } \int \, d ^ { 2 } x \, \sqrt { \bar { g } } \bigl [ ( { \overline { \nabla } } \sigma ) ^ { 2 } + \overline { R } \sigma \bigr ] \, |
c S _ { a n o m , E u e l } = + \frac { Q ^ { 2 } } { 4 \pi } \int \, d ^ { 2 } x \, \sqrt { \bar { g } } \bigl [ \overline { { \nabla } } \sigma ) ^ { 2 } + \overline { { R } } \sigma ] |
| 55 |
0.102362 |
127 |
$\Sigma _ { H H } ^ { t t } \left( q ^ { 2 } \right) = - 2 \kappa ( \Lambda ) { \Big \{ } \Lambda ^ { 2 } + \left[ \frac { q ^ { 2 } } { 2 } - 3 m _ { t } ^ { ( 0 ) 2 } ( \Lambda ) \right] \operatorname { l n } \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { ( 0 ) 2 } ( \Lambda ) } \right) + { \cal { O } } ( q ^ { 2 } , m _ { t } ^ { 2 } ) { \Big \} } \ . $ |
119 |
$\Sigma _ { H H } ^ { \prime i } \left( q ^ { 2 } \right) = - 2 \kappa ( \Lambda ) \left\{ \Lambda ^ { 2 } + \left[ \frac { q ^ { 2 } } { 2 } - 3 m _ { t } ^ { ( 0 ) 2 } ( \Lambda ) \right] \operatorname { l n } \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { ( 0 ) 2 } ( \Lambda ) } \right) + { \cal O } ( q ^ { 2 } , m _ { t } ^ { 2 } ) \right\} \, . $ |
\Sigma _ { H H } ^ { t t } \left( q ^ { 2 } \right) = - 2 \kappa ( \Lambda ) { \Big \{ } \Lambda ^ { 2 } + \left[ \frac { q ^ { 2 } } { 2 } - 3 m _ { t } ^ { ( 0 ) 2 } ( \Lambda ) \right] \operatorname { l n } \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { ( 0 ) 2 } ( \Lambda ) } \right) + { \cal { O } } ( q ^ { 2 } , m _ { t } ^ { 2 } ) { \Big \} } \ . |
\Sigma _ { H H } ^ { \prime i } \left( q ^ { 2 } \right) = - 2 \kappa ( \Lambda ) \left\{ \Lambda ^ { 2 } + \left[ \frac { q ^ { 2 } } { 2 } - 3 m _ { t } ^ { ( 0 ) 2 } ( \Lambda ) \right] \operatorname { l n } \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { t } ^ { ( 0 ) 2 } ( \Lambda ) } \right) + { \cal O } ( q ^ { 2 } , m _ { t } ^ { 2 } ) \right\} \, . |
| 56 |
0.317073 |
82 |
$\frac { d \hat { \sigma } _ { a b \rightarrow c } ^ { ( F - L O ) } } { d p _ { c _ { T } } ^ { 2 } \, d y } = \frac { d \sigma _ { a b \rightarrow c } ^ { ( L O ) } } { d p _ { c _ { T } } ^ { 2 } \, d y } $ |
81 |
${ \frac { d { \hat { \sigma } } _ { a b \to - c D } ^ { ( L \to O ) } } { d p _ { c c } ^ { 2 } } } d y = { \frac { d \sigma _ { a b c \to } ^ { ( L ) } } { d p _ { c \mu } ^ { 2 } \; d y } } $ |
\frac { d \hat { \sigma } _ { a b \rightarrow c } ^ { ( F - L O ) } } { d p _ { c _ { T } } ^ { 2 } \, d y } = \frac { d \sigma _ { a b \rightarrow c } ^ { ( L O ) } } { d p _ { c _ { T } } ^ { 2 } \, d y } |
{ \frac { d { \hat { \sigma } } _ { a b \to - c D } ^ { ( L \to O ) } } { d p _ { c c } ^ { 2 } } } d y = { \frac { d \sigma _ { a b c \to } ^ { ( L ) } } { d p _ { c \mu } ^ { 2 } \; d y } } |
| 57 |
0.145161 |
62 |
$P _ { q q } ^ { ( 0 ) } ( x ) = C _ { F } \Bigg [ \frac { 1 + x ^ { 2 } } { ( 1 - x ) _ { + } } + \frac { 3 } { 2 } \delta ( 1 - x ) \Bigg ] \; , $ |
56 |
$P _ { q q } ^ { ( 0 ) } ( x ) = C _ { F } \left[ \frac { 1 + x ^ { 2 } } { ( 1 - x ) _ { + } } + \frac 3 2 \delta ( 1 - x ) \right] \, , $ |
P _ { q q } ^ { ( 0 ) } ( x ) = C _ { F } \Bigg [ \frac { 1 + x ^ { 2 } } { ( 1 - x ) _ { + } } + \frac { 3 } { 2 } \delta ( 1 - x ) \Bigg ] \; , |
P _ { q q } ^ { ( 0 ) } ( x ) = C _ { F } \left[ \frac { 1 + x ^ { 2 } } { ( 1 - x ) _ { + } } + \frac 3 2 \delta ( 1 - x ) \right] \, , |
| 58 |
0.136364 |
44 |
$F _ { \alpha } ( Q ^ { 2 } ) ( P ^ { \mu } + P ^ { \mu } ) = \left[ { \cal A } _ { 2 } \right] ^ { \mu , \alpha \alpha } . $ |
44 |
$F _ { \alpha } ( Q ^ { 2 } ) ( P ^ { \mu } + P ^ { \mu } ) = [ { \cal A } _ { 2 } ] ^ { n A \alpha } \, . $ |
F _ { \alpha } ( Q ^ { 2 } ) ( P ^ { \mu } + P ^ { \mu } ) = \left[ { \cal A } _ { 2 } \right] ^ { \mu , \alpha \alpha } . |
F _ { \alpha } ( Q ^ { 2 } ) ( P ^ { \mu } + P ^ { \mu } ) = [ { \cal A } _ { 2 } ] ^ { n A \alpha } \, . |
| 59 |
0.041237 |
97 |
${ \cal L } = \mathrm { i } \varphi ^ { \dagger } \partial _ { + } \varphi + \mathrm { i } \chi ^ { \dagger } \partial _ { - } \chi + \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } } \left( \varphi ^ { \dagger } \tilde { \partial } _ { m } \chi + \chi ^ { \dagger } \partial _ { m } \varphi \right) + { \cal L } _ { \mathrm { i n t } } ( \varphi , \chi ) $ |
94 |
${ \cal L } = \mathrm { i } \varphi ^ { \dagger } \partial _ { + } \varphi + \mathrm { i } \chi ^ { \dagger } \partial _ { - } \chi + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \varphi ^ { \dagger } \tilde { \partial } _ { m } \chi + \chi ^ { \dagger } \partial _ { m } \varphi \right) + { \cal L } _ { \mathrm { i n t } } ( \varphi , \chi ) $ |
{ \cal L } = \mathrm { i } \varphi ^ { \dagger } \partial _ { + } \varphi + \mathrm { i } \chi ^ { \dagger } \partial _ { - } \chi + \frac { \mathrm { i } } { \sqrt { 2 } } \left( \varphi ^ { \dagger } \tilde { \partial } _ { m } \chi + \chi ^ { \dagger } \partial _ { m } \varphi \right) + { \cal L } _ { \mathrm { i n t } } ( \varphi , \chi ) |
{ \cal L } = \mathrm { i } \varphi ^ { \dagger } \partial _ { + } \varphi + \mathrm { i } \chi ^ { \dagger } \partial _ { - } \chi + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \varphi ^ { \dagger } \tilde { \partial } _ { m } \chi + \chi ^ { \dagger } \partial _ { m } \varphi \right) + { \cal L } _ { \mathrm { i n t } } ( \varphi , \chi ) |
| 60 |
0.157895 |
38 |
$R _ { a } ^ { \bar { b } } ( \beta ) = \delta _ { a } ^ { \bar { b } } R _ { R L } ( \beta ) . $ |
32 |
$R _ { a } ^ { b } ( \beta ) = \delta _ { a } ^ { b } R _ { R L } ( \beta ) . $ |
R _ { a } ^ { \bar { b } } ( \beta ) = \delta _ { a } ^ { \bar { b } } R _ { R L } ( \beta ) . |
R _ { a } ^ { b } ( \beta ) = \delta _ { a } ^ { b } R _ { R L } ( \beta ) . |
| 61 |
0.051546 |
97 |
${ \frac { d \ \operatorname { l n } W _ { n p } ^ { I } ( Q ^ { 2 } ) } { d \ \operatorname { l n } Q ^ { 2 } } } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } \int \! d n ( \rho ) \ \rho ^ { 4 } \operatorname { l n } { \left( \rho ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right) } \equiv B _ { I } \ . $ |
95 |
${ \frac { d \ \operatorname { l n } W _ { n p } ^ { \prime } ( Q ^ { 2 } ) } { d \, \operatorname { l n } Q ^ { 2 } } } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } \int \! d n ( \rho ) \ \rho ^ { 4 } \operatorname { l n } \left( \rho ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right) \equiv B _ { I } ~ . $ |
{ \frac { d \ \operatorname { l n } W _ { n p } ^ { I } ( Q ^ { 2 } ) } { d \ \operatorname { l n } Q ^ { 2 } } } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } \int \! d n ( \rho ) \ \rho ^ { 4 } \operatorname { l n } { \left( \rho ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right) } \equiv B _ { I } \ . |
{ \frac { d \ \operatorname { l n } W _ { n p } ^ { \prime } ( Q ^ { 2 } ) } { d \, \operatorname { l n } Q ^ { 2 } } } = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 2 } } \int \! d n ( \rho ) \ \rho ^ { 4 } \operatorname { l n } \left( \rho ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } \right) \equiv B _ { I } ~ . |
| 62 |
0.035211 |
142 |
$\left[ \hat { x } ^ { \mu } , \hat { \pi } _ { \nu } \right] _ { - } = i \left\{ x ^ { \mu } , \pi _ { \nu } \right\} _ { D ( \Phi _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } = i \delta _ { \nu } ^ { \mu } \; , \; \; \left[ \hat { \psi } ^ { \mu } , \hat { \psi } ^ { \nu } \right] _ { + } = i \left\{ \psi ^ { \mu } , \psi ^ { \nu } \right\} _ { D ( \Phi _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } = - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \; . $ |
141 |
$[ \hat { x } ^ { \mu } , \hat { \pi } _ { \nu } ] _ { - } = i \left\{ x ^ { \mu } , \pi _ { \nu } \right\} _ { D ( \Phi _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } = i \delta _ { \nu } ^ { \mu } \; , \quad \left[ \hat { \psi } ^ { \mu } , \hat { \psi } ^ { \nu } \right] _ { + } = i \left\{ \psi ^ { \mu } , \psi ^ { \nu } \right\} _ { D ( \Phi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) } = - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \; . $ |
\left[ \hat { x } ^ { \mu } , \hat { \pi } _ { \nu } \right] _ { - } = i \left\{ x ^ { \mu } , \pi _ { \nu } \right\} _ { D ( \Phi _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } = i \delta _ { \nu } ^ { \mu } \; , \; \; \left[ \hat { \psi } ^ { \mu } , \hat { \psi } ^ { \nu } \right] _ { + } = i \left\{ \psi ^ { \mu } , \psi ^ { \nu } \right\} _ { D ( \Phi _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } = - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \; . |
[ \hat { x } ^ { \mu } , \hat { \pi } _ { \nu } ] _ { - } = i \left\{ x ^ { \mu } , \pi _ { \nu } \right\} _ { D ( \Phi _ { 3 } ^ { ( 1 ) } ) } = i \delta _ { \nu } ^ { \mu } \; , \quad \left[ \hat { \psi } ^ { \mu } , \hat { \psi } ^ { \nu } \right] _ { + } = i \left\{ \psi ^ { \mu } , \psi ^ { \nu } \right\} _ { D ( \Phi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) } = - \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } \; . |
| 63 |
0.056180 |
89 |
$g ( z ) = \frac { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } { | \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) | } = \sqrt { \frac { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } { \overline { { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } } } } \in U ( 1 ) \, , $ |
84 |
$g ( z ) = \frac { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } { | \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) | } = \sqrt { \frac { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } } \in U ( 1 ) \, , $ |
g ( z ) = \frac { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } { | \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) | } = \sqrt { \frac { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } { \overline { { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } } } } \in U ( 1 ) \, , |
g ( z ) = \frac { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } { | \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) | } = \sqrt { \frac { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } { \theta _ { \tau } ( z , z _ { 0 } ) } } \in U ( 1 ) \, , |
| 64 |
0.048387 |
62 |
$M = { \frac { 2 \bar { \cal R } ^ { 3 } } { 8 \omega + 3 } } \left\{ ( 4 \omega + 3 ) k + 4 ( \omega + 1 ) { \frac { \bar { \cal R } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right\} \, . $ |
63 |
$M = { \frac { 2 \bar { \cal R } ^ { 3 } } { 8 \omega + 3 } } \left\{ ( 4 \omega + 3 ) k + 4 ( \omega + 1 ) { \frac { { \bar { 3 } } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right\} \, . $ |
M = { \frac { 2 \bar { \cal R } ^ { 3 } } { 8 \omega + 3 } } \left\{ ( 4 \omega + 3 ) k + 4 ( \omega + 1 ) { \frac { \bar { \cal R } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right\} \, . |
M = { \frac { 2 \bar { \cal R } ^ { 3 } } { 8 \omega + 3 } } \left\{ ( 4 \omega + 3 ) k + 4 ( \omega + 1 ) { \frac { { \bar { 3 } } ^ { 2 } } { l ^ { 2 } } } \right\} \, . |
| 65 |
0.111111 |
99 |
$C _ { 0 } = { \frac { { \hat { q } } ( q ^ { 2 } \, - \, B ^ { 2 } / 2 ) \, - \, B ^ { 2 } / 2 ( q \gamma ) _ { \perp } } { ( q ^ { 2 } - B ^ { 2 } / 2 ) ^ { 2 } - B ^ { 2 } ( q _ { \perp } ^ { 2 } + B ^ { 2 } / 4 ) } } . $ |
88 |
$C _ { 0 } = \frac { q ( q ^ { 2 } - B ^ { 2 } / 2 ) - B ^ { 2 } / 2 ( q \gamma ) _ { \perp } } { ( q ^ { 2 } - B ^ { 2 } / 2 ) ^ { 2 } - B ^ { 2 } ( q _ { \perp } ^ { 2 } + B ^ { 2 } / 4 ) } . $ |
C _ { 0 } = { \frac { { \hat { q } } ( q ^ { 2 } \, - \, B ^ { 2 } / 2 ) \, - \, B ^ { 2 } / 2 ( q \gamma ) _ { \perp } } { ( q ^ { 2 } - B ^ { 2 } / 2 ) ^ { 2 } - B ^ { 2 } ( q _ { \perp } ^ { 2 } + B ^ { 2 } / 4 ) } } . |
C _ { 0 } = \frac { q ( q ^ { 2 } - B ^ { 2 } / 2 ) - B ^ { 2 } / 2 ( q \gamma ) _ { \perp } } { ( q ^ { 2 } - B ^ { 2 } / 2 ) ^ { 2 } - B ^ { 2 } ( q _ { \perp } ^ { 2 } + B ^ { 2 } / 4 ) } . |
| 66 |
0.050847 |
59 |
$\beta \Omega = - \operatorname { l n } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \epsilon ( p ) \Leftrightarrow \operatorname { s i n h } ^ { 2 } \epsilon ( p ) = \frac { 1 } { e ^ { \beta \Omega } - 1 } \, { . } $ |
57 |
$\beta \Omega = - \operatorname { l n } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \epsilon ( p ) \leftrightarrow \operatorname { s i n h } ^ { 2 } \epsilon ( p ) = \frac { 1 } { e ^ { \beta \Omega } - 1 } \, . $ |
\beta \Omega = - \operatorname { l n } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \epsilon ( p ) \Leftrightarrow \operatorname { s i n h } ^ { 2 } \epsilon ( p ) = \frac { 1 } { e ^ { \beta \Omega } - 1 } \, { . } |
\beta \Omega = - \operatorname { l n } \operatorname { t a n h } ^ { 2 } \epsilon ( p ) \leftrightarrow \operatorname { s i n h } ^ { 2 } \epsilon ( p ) = \frac { 1 } { e ^ { \beta \Omega } - 1 } \, . |
| 67 |
0.107527 |
93 |
${ \cal L } [ \chi , U , U ^ { \dagger } ] \; = \; \frac { 1 } { 2 } \, ( \partial _ { \mu } \chi ) ( \partial ^ { \mu } \chi ) \; + \; \frac { 1 } { 4 } \, T r \left[ \frac { } { } ( \partial _ { \mu } U ) ( \partial ^ { \mu } U ^ { \dagger } ) \right] \; - \; V ( \chi , U ) \; , $ |
87 |
${ \cal L } [ \chi , U , U ^ { \dagger } ] \; = \; \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \chi \right) ( \partial ^ { \mu } \chi ) \; + \; \frac { 1 } { 4 } \, T r \left[ \left( \partial _ { \mu } U \right) ( \partial ^ { \mu } U ^ { \dagger } ) \right] \; - \; V ( \chi , U ) \; , $ |
{ \cal L } [ \chi , U , U ^ { \dagger } ] \; = \; \frac { 1 } { 2 } \, ( \partial _ { \mu } \chi ) ( \partial ^ { \mu } \chi ) \; + \; \frac { 1 } { 4 } \, T r \left[ \frac { } { } ( \partial _ { \mu } U ) ( \partial ^ { \mu } U ^ { \dagger } ) \right] \; - \; V ( \chi , U ) \; , |
{ \cal L } [ \chi , U , U ^ { \dagger } ] \; = \; \frac { 1 } { 2 } \left( \partial _ { \mu } \chi \right) ( \partial ^ { \mu } \chi ) \; + \; \frac { 1 } { 4 } \, T r \left[ \left( \partial _ { \mu } U \right) ( \partial ^ { \mu } U ^ { \dagger } ) \right] \; - \; V ( \chi , U ) \; , |
| 68 |
0.022472 |
89 |
$T _ { 1 0 } ^ { m \; k } \; = \frac { \Theta } { 4 \ell _ { P } ^ { 7 } } \, < s _ { K } ^ { a } \; \epsilon ^ { i j k } \epsilon ^ { I J K } \langle W , \xi | \hat { A } _ { a } ^ { m } ( v ) \hat { w } _ { i I \Delta } ( v ) $ |
88 |
$T _ { 1 0 } ^ { m \; k } \; = \frac { \Theta } { 4 \ell _ { P } ^ { \prime } } < s _ { K } ^ { a } \; \epsilon ^ { i j k } \epsilon ^ { I J K } \langle W , \xi | \hat { A } _ { a } ^ { m } ( v ) \hat { w } _ { i I \Delta } ( v ) $ |
T _ { 1 0 } ^ { m \; k } \; = \frac { \Theta } { 4 \ell _ { P } ^ { 7 } } \, < s _ { K } ^ { a } \; \epsilon ^ { i j k } \epsilon ^ { I J K } \langle W , \xi | \hat { A } _ { a } ^ { m } ( v ) \hat { w } _ { i I \Delta } ( v ) |
T _ { 1 0 } ^ { m \; k } \; = \frac { \Theta } { 4 \ell _ { P } ^ { \prime } } < s _ { K } ^ { a } \; \epsilon ^ { i j k } \epsilon ^ { I J K } \langle W , \xi | \hat { A } _ { a } ^ { m } ( v ) \hat { w } _ { i I \Delta } ( v ) |
| 69 |
0.015152 |
66 |
$m _ { L R } = \left( \begin{array} { c c c } { \lambda ^ { m } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right) m _ { f } , $ |
66 |
$m _ { L R } = \left( \begin{array} { c c c } { \lambda ^ { 6 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right) m _ { f } , $ |
m _ { L R } = \left( \begIn{array} { c c c } { \lambda ^ { m } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right) m _ { f } , |
m _ { L R } = \left( \begIn{array} { c c c } { \lambda ^ { 6 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda ^ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ \end{array} \right) m _ { f } , |
| 70 |
0.084507 |
71 |
$\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } B _ { n } ( f _ { n , t } ) \cdots B _ { 1 } ( f _ { 1 , t } ) \, \Omega \doteq \big ( \psi _ { n } \times \cdots \times \psi _ { 1 } \big ) ^ { \mathrm { o u t } } \, $ |
68 |
$\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } B _ { n } ( f _ { n , t } ) \cdots B _ { 1 } ( f _ { 1 , t } ) \, \Omega = \left( \psi _ { n } \times \cdots \times \psi _ { 1 } \right) ^ { \mathrm { o u t } } $ |
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } B _ { n } ( f _ { n , t } ) \cdots B _ { 1 } ( f _ { 1 , t } ) \, \Omega \doteq \big ( \psi _ { n } \times \cdots \times \psi _ { 1 } \big ) ^ { \mathrm { o u t } } \, |
\operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } B _ { n } ( f _ { n , t } ) \cdots B _ { 1 } ( f _ { 1 , t } ) \, \Omega = \left( \psi _ { n } \times \cdots \times \psi _ { 1 } \right) ^ { \mathrm { o u t } } |
| 71 |
0.074074 |
81 |
$\partial _ { \bar { z } } T _ { 4 } = \lambda \oint _ { z } \frac { d \zeta } { 2 \pi i } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname { c o s } [ { \beta } _ { i } \phi _ { i } ( \zeta , \bar { z } ) ] \right) T _ { 4 } ( z ) \ . $ |
77 |
$\partial _ { \bar { z } } T _ { 4 } = \lambda \oint { \frac { d \zeta } { 2 \pi i } } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname { c o s } [ \beta _ { i } \phi _ { i } ( \zeta , \bar { z } ) ] \right) T _ { 4 } ( z ) \ . $ |
\partial _ { \bar { z } } T _ { 4 } = \lambda \oint _ { z } \frac { d \zeta } { 2 \pi i } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname { c o s } [ { \beta } _ { i } \phi _ { i } ( \zeta , \bar { z } ) ] \right) T _ { 4 } ( z ) \ . |
\partial _ { \bar { z } } T _ { 4 } = \lambda \oint { \frac { d \zeta } { 2 \pi i } } \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname { c o s } [ \beta _ { i } \phi _ { i } ( \zeta , \bar { z } ) ] \right) T _ { 4 } ( z ) \ . |
| 72 |
0.020000 |
50 |
$\delta { \cal P } _ { 2 i } = - \tilde { G } _ { i } ^ { ( 2 ) } + \partial _ { i } \pi \equiv - \tilde { \gamma } _ { i } ^ { ( 2 ) } , $ |
50 |
$\delta { \cal P } _ { 2 i } = - \tilde { G } _ { i } ^ { ( 2 ) } + \partial _ { i } \pi = - \tilde { \gamma } _ { i } ^ { ( 2 ) } , $ |
\delta { \cal P } _ { 2 i } = - \tilde { G } _ { i } ^ { ( 2 ) } + \partial _ { i } \pi \equiv - \tilde { \gamma } _ { i } ^ { ( 2 ) } , |
\delta { \cal P } _ { 2 i } = - \tilde { G } _ { i } ^ { ( 2 ) } + \partial _ { i } \pi = - \tilde { \gamma } _ { i } ^ { ( 2 ) } , |
| 73 |
0.120301 |
133 |
$\operatorname { s i n } \left( \frac { \tilde { p } _ { 1 } \cdot k } { 2 } \right) \operatorname { s i n } \left( \frac { \tilde { p } _ { 2 } \cdot k } { 2 } \right) \operatorname { s i n } \left( \frac { \tilde { p } _ { 3 } \cdot k } { 2 } \right) = - \frac { 1 } { 4 } \left( \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 1 } \cdot k + \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 2 } \cdot k + \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 3 } \cdot k \right) $ |
134 |
$\operatorname { s i n } \left( { \frac { g + k } { 2 } } \right) \operatorname { s i n } \left( { \frac { \tilde { p } _ { 2 } \cdot k } { 2 } } \right) \operatorname { s i n } \left( { \frac { \tilde { p } _ { 3 } \cdot k } { 2 } } \right) = - { \frac { 1 } { 4 } } \left( \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 1 } \cdot k + \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 2 } \cdot k + \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 3 } \cdot k \right) $ |
\operatorname { s i n } \left( \frac { \tilde { p } _ { 1 } \cdot k } { 2 } \right) \operatorname { s i n } \left( \frac { \tilde { p } _ { 2 } \cdot k } { 2 } \right) \operatorname { s i n } \left( \frac { \tilde { p } _ { 3 } \cdot k } { 2 } \right) = - \frac { 1 } { 4 } \left( \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 1 } \cdot k + \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 2 } \cdot k + \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 3 } \cdot k \right) |
\operatorname { s i n } \left( { \frac { g + k } { 2 } } \right) \operatorname { s i n } \left( { \frac { \tilde { p } _ { 2 } \cdot k } { 2 } } \right) \operatorname { s i n } \left( { \frac { \tilde { p } _ { 3 } \cdot k } { 2 } } \right) = - { \frac { 1 } { 4 } } \left( \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 1 } \cdot k + \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 2 } \cdot k + \operatorname { s i n } \tilde { p } _ { 3 } \cdot k \right) |
| 74 |
0.046512 |
43 |
$\frac { d x ^ { a } } { r d t } = \{ H _ { \mathrm { r e d } } , x ^ { a } \} ^ { \mathrm { r e d } } , $ |
43 |
$\frac { d x ^ { a } } { t c t } = \{ H _ { \mathrm { r e d } } , x ^ { a } \} ^ { \mathrm { r e d } } , $ |
\frac { d x ^ { a } } { r d t } = \{ H _ { \mathrm { r e d } } , x ^ { a } \} ^ { \mathrm { r e d } } , |
\frac { d x ^ { a } } { t c t } = \{ H _ { \mathrm { r e d } } , x ^ { a } \} ^ { \mathrm { r e d } } , |
| 75 |
0.130435 |
46 |
$a _ { \mathrm { U V } } - a _ { \mathrm { I R } } = - \int _ { \lambda _ { \mathrm { U V } } } ^ { \lambda _ { \mathrm { I R } } } $ |
48 |
$a _ { \mathrm { U V } } - a _ { \mathrm { I R } } = - \int _ { \lambda _ { \mathrm { V { 1 } } } } ^ { \lambda _ { \mathrm { R i } } } $ |
a _ { \mathrm { U V } } - a _ { \mathrm { I R } } = - \int _ { \lambda _ { \mathrm { U V } } } ^ { \lambda _ { \mathrm { I R } } } |
a _ { \mathrm { U V } } - a _ { \mathrm { I R } } = - \int _ { \lambda _ { \mathrm { V { 1 } } } } ^ { \lambda _ { \mathrm { R i } } } |
| 76 |
0.049383 |
81 |
$\Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 7 1 0 ) ) : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 5 0 0 ) ) : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 3 7 0 ) ) = 5 9 . 3 8 8 : 2 7 . 9 0 8 : 1 8 . 5 6 4 . $ |
81 |
$\Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 7 0 0 ) \} : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 5 0 0 ) ) : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 3 7 0 ) ) = 5 9 . 3 8 8 : 2 7 . 9 0 8 : 1 8 . 5 4 6 . $ |
\Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 7 1 0 ) ) : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 5 0 0 ) ) : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 3 7 0 ) ) = 5 9 . 3 8 8 : 2 7 . 9 0 8 : 1 8 . 5 6 4 . |
\Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 7 0 0 ) \} : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 5 0 0 ) ) : \Gamma _ { \gamma \gamma } ( f _ { 0 } ( 1 3 7 0 ) ) = 5 9 . 3 8 8 : 2 7 . 9 0 8 : 1 8 . 5 4 6 . |
| 77 |
0.048544 |
103 |
$\ m ^ { 2 } ( \beta ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } F ( D ) \left( m ( \beta ) \right) ^ { D - 2 } \int _ { m ( \beta ) \beta } ^ { \infty } d \tau \left( ( \frac { \tau } { m ( \beta ) \beta } ) ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { D - 3 } { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { \tau } - 1 } . $ |
103 |
$m ^ { 2 } ( \beta ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } F ( D ) \left( m ( \beta ) \right) ^ { D - 2 } \int _ { m ( \beta ) \beta } ^ { \infty } d \tau \left( ( \frac { \tau } { m ( \beta ) \beta } ) ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { - p - 2 } { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { - } - 1 } . $ |
\ m ^ { 2 } ( \beta ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } F ( D ) \left( m ( \beta ) \right) ^ { D - 2 } \int _ { m ( \beta ) \beta } ^ { \infty } d \tau \left( ( \frac { \tau } { m ( \beta ) \beta } ) ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { D - 3 } { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { \tau } - 1 } . |
m ^ { 2 } ( \beta ) = m _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 0 } F ( D ) \left( m ( \beta ) \right) ^ { D - 2 } \int _ { m ( \beta ) \beta } ^ { \infty } d \tau \left( ( \frac { \tau } { m ( \beta ) \beta } ) ^ { 2 } - 1 \right) ^ { \frac { - p - 2 } { 2 } } \frac { 1 } { e ^ { - } - 1 } . |
| 78 |
0.111111 |
72 |
$G [ u ] _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } ^ { - 1 } = \frac { \delta } { \delta \Psi ( n _ { 1 } ) } \frac { \delta } { \delta \overline { { \Psi } } ( n _ { 2 } ) } S _ { f } ^ { \chi w } [ \Psi ] . $ |
76 |
$G [ u ] _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } ^ { - 1 } = { \frac { \delta } { \delta \Psi ( n _ { 1 } ) } } { \frac { \delta } { \delta { \bar { \Psi } } ( n _ { 2 } ) } } S _ { f } ^ { \alpha p } [ \Psi ] . $ |
G [ u ] _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } ^ { - 1 } = \frac { \delta } { \delta \Psi ( n _ { 1 } ) } \frac { \delta } { \delta \overline { { \Psi } } ( n _ { 2 } ) } S _ { f } ^ { \chi w } [ \Psi ] . |
G [ u ] _ { n _ { 1 } n _ { 2 } } ^ { - 1 } = { \frac { \delta } { \delta \Psi ( n _ { 1 } ) } } { \frac { \delta } { \delta { \bar { \Psi } } ( n _ { 2 } ) } } S _ { f } ^ { \alpha p } [ \Psi ] . |
| 79 |
0.019802 |
101 |
$\delta _ { i } \simeq { \frac { I m [ \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ^ { * } \sum _ { k , l } f _ { 1 k l } f _ { 2 k l } ^ { * } ] } { 8 \pi ^ { 2 } ( M _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { 2 } ^ { 2 } ) } } { \frac { M _ { i } } { \Gamma _ { i } } } , $ |
100 |
$\delta _ { i } \simeq { \frac { I m [ \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ^ { * } \sum _ { k , l } f _ { 1 k l } f _ { 2 k } ^ { * } | } { 8 \pi ^ { 2 } ( M _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { 2 } ^ { 2 } ) } } { \frac { M _ { i } } { \Gamma _ { i } } } , $ |
\delta _ { i } \simeq { \frac { I m [ \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ^ { * } \sum _ { k , l } f _ { 1 k l } f _ { 2 k l } ^ { * } ] } { 8 \pi ^ { 2 } ( M _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { 2 } ^ { 2 } ) } } { \frac { M _ { i } } { \Gamma _ { i } } } , |
\delta _ { i } \simeq { \frac { I m [ \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } ^ { * } \sum _ { k , l } f _ { 1 k l } f _ { 2 k } ^ { * } | } { 8 \pi ^ { 2 } ( M _ { 1 } ^ { 2 } - M _ { 2 } ^ { 2 } ) } } { \frac { M _ { i } } { \Gamma _ { i } } } , |
| 80 |
0.063492 |
63 |
$\langle f _ { Q ^ { * } } ^ { } ( s , b , Q ^ { 2 } ) \rangle = [ \tilde { N } ( s , b ) + ( N - 1 ) ] \, V _ { Q ^ { * } } ( b , Q ^ { 2 } ) . $ |
60 |
$\langle f _ { Q ^ { \ast } } ( s , b , Q ^ { 2 } ) \rangle = [ \tilde { N } ( s , b ) + ( N - 1 ) ] \, V _ { Q ^ { * } } ( b , Q ^ { 2 } ) . $ |
\langle f _ { Q ^ { * } } ^ { } ( s , b , Q ^ { 2 } ) \rangle = [ \tilde { N } ( s , b ) + ( N - 1 ) ] \, V _ { Q ^ { * } } ( b , Q ^ { 2 } ) . |
\langle f _ { Q ^ { \ast } } ( s , b , Q ^ { 2 } ) \rangle = [ \tilde { N } ( s , b ) + ( N - 1 ) ] \, V _ { Q ^ { * } } ( b , Q ^ { 2 } ) . |
| 81 |
0.080460 |
87 |
$( p _ { R } - p _ { R } ^ { \mathrm { t u b e } } ) ^ { 2 } = p _ { R } ^ { 2 } - \{ p _ { R } , p _ { R } ^ { \mathrm { t u b e } } \} + ( { p _ { R } ^ { \mathrm { t u b e } } } ) ^ { 2 } \ . $ |
85 |
$( p _ { R } - p _ { R } ^ { \mathrm { t h o e } } ) ^ { 2 } = p _ { R } ^ { 2 } - \{ p _ { R } , p _ { R } ^ { \mathrm { t h e h } } \} + ( p _ { R } ^ { \mathrm { t u b e } } ) ^ { 2 } \ . $ |
( p _ { R } - p _ { R } ^ { \mathrm { t u b e } } ) ^ { 2 } = p _ { R } ^ { 2 } - \{ p _ { R } , p _ { R } ^ { \mathrm { t u b e } } \} + ( { p _ { R } ^ { \mathrm { t u b e } } } ) ^ { 2 } \ . |
( p _ { R } - p _ { R } ^ { \mathrm { t h o e } } ) ^ { 2 } = p _ { R } ^ { 2 } - \{ p _ { R } , p _ { R } ^ { \mathrm { t h e h } } \} + ( p _ { R } ^ { \mathrm { t u b e } } ) ^ { 2 } \ . |
| 82 |
0.136364 |
110 |
${ R ^ { \alpha } } _ { \beta } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 2 { f ^ { \alpha } } _ { \beta i } { f ^ { i } } _ { \gamma \delta } + { f ^ { \alpha } } _ { \beta \epsilon } { f ^ { \epsilon } } _ { \gamma \delta } - { f ^ { \alpha } } _ { \gamma \epsilon } { f ^ { \epsilon } } _ { \beta \delta } \right) e ^ { \gamma } \wedge e ^ { \delta } . $ |
110 |
$R ^ { \alpha } { } _ { \beta } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 2 f ^ { \alpha } { } _ { \beta i } f ^ { i } { } _ { \gamma \delta } + f ^ { \alpha } { } _ { \beta \epsilon } f ^ { \epsilon } { } _ { \gamma \delta } - f ^ { \alpha } { } _ { \gamma \epsilon } f ^ { e } { } _ { \beta \delta } \right) e ^ { \gamma } \wedge e ^ { \delta } . $ |
{ R ^ { \alpha } } _ { \beta } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 2 { f ^ { \alpha } } _ { \beta i } { f ^ { i } } _ { \gamma \delta } + { f ^ { \alpha } } _ { \beta \epsilon } { f ^ { \epsilon } } _ { \gamma \delta } - { f ^ { \alpha } } _ { \gamma \epsilon } { f ^ { \epsilon } } _ { \beta \delta } \right) e ^ { \gamma } \wedge e ^ { \delta } . |
R ^ { \alpha } { } _ { \beta } = { \frac { 1 } { 4 } } \left( 2 f ^ { \alpha } { } _ { \beta i } f ^ { i } { } _ { \gamma \delta } + f ^ { \alpha } { } _ { \beta \epsilon } f ^ { \epsilon } { } _ { \gamma \delta } - f ^ { \alpha } { } _ { \gamma \epsilon } f ^ { e } { } _ { \beta \delta } \right) e ^ { \gamma } \wedge e ^ { \delta } . |
| 83 |
0.115385 |
26 |
$i \delta { \dot { \cal M } } = [ { \cal H } _ { 0 } , \delta { \cal M } ] $ |
23 |
$i \delta { \cal M } = [ { \cal H } _ { 0 } , \delta { \cal M } ] $ |
i \delta { \dot { \cal M } } = [ { \cal H } _ { 0 } , \delta { \cal M } ] |
i \delta { \cal M } = [ { \cal H } _ { 0 } , \delta { \cal M } ] |
| 84 |
0.027027 |
37 |
$\widehat { q } _ { \perp } \equiv \sqrt { \widehat { q } _ { 1 } ^ { 2 } + \widehat { q } _ { 2 } ^ { 2 } } $ |
37 |
$\widehat { q } _ { \perp } \equiv \sqrt { \widetilde { q } _ { 1 } ^ { 2 } + \widehat { q } _ { 2 } ^ { 2 } } $ |
\widehat { q } _ { \perp } \equiv \sqrt { \widehat { q } _ { 1 } ^ { 2 } + \widehat { q } _ { 2 } ^ { 2 } } |
\widehat { q } _ { \perp } \equiv \sqrt { \widetilde { q } _ { 1 } ^ { 2 } + \widehat { q } _ { 2 } ^ { 2 } } |
| 85 |
0.090909 |
66 |
$J ( T ) = \frac { E _ { 4 } ^ { 3 } ( T ) } { 1 7 2 8 \triangle ( T ) } = 1 + \frac { E _ { 6 } ^ { 2 } ( T ) } { 1 7 2 8 \triangle ( T ) } , ; \; \; \; T \in H $ |
65 |
$J ( T ) = \frac { E _ { 4 } ^ { 3 } ( T ) } { 1 7 2 8 \Delta ( T ) } = 1 + \frac { E _ { 6 } ^ { 2 } ( T ) } { 1 7 2 8 \Delta ( T ) } ; \, ; \quad T \in H $ |
J ( T ) = \frac { E _ { 4 } ^ { 3 } ( T ) } { 1 7 2 8 \triangle ( T ) } = 1 + \frac { E _ { 6 } ^ { 2 } ( T ) } { 1 7 2 8 \triangle ( T ) } , ; \; \; \; T \in H |
J ( T ) = \frac { E _ { 4 } ^ { 3 } ( T ) } { 1 7 2 8 \Delta ( T ) } = 1 + \frac { E _ { 6 } ^ { 2 } ( T ) } { 1 7 2 8 \Delta ( T ) } ; \, ; \quad T \in H |
| 86 |
0.136364 |
22 |
$S _ { \mathrm { c l . } } \sim \left( \Delta x \right) ^ { 2 } l \quad , $ |
23 |
$S _ { \mathrm { c l . } } \sim ( \Delta x ) ^ { 2 } \, l \quad , $ |
S _ { \mathrm { c l . } } \sim \left( \Delta x \right) ^ { 2 } l \quad , |
S _ { \mathrm { c l . } } \sim ( \Delta x ) ^ { 2 } \, l \quad , |
| 87 |
0.038462 |
78 |
$X _ { n - i + 1 \, i } = \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } [ X _ { n - i \, i + 1 } , \Phi ( F _ { i } ) ] _ { q } X _ { n - i \, i + 1 } ^ { - 1 } , \; 1 \leq i \leq n - 2 , $ |
76 |
$X _ { n - i + 1 \, i } = \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } [ X _ { n - i i + 1 } , \Phi ( F _ { i } ) ] _ { q } X _ { n - i + i 1 } ^ { - 1 } , \; 1 \leq i \leq n - 2 , $ |
X _ { n - i + 1 \, i } = \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } [ X _ { n - i \, i + 1 } , \Phi ( F _ { i } ) ] _ { q } X _ { n - i \, i + 1 } ^ { - 1 } , \; 1 \leq i \leq n - 2 , |
X _ { n - i + 1 \, i } = \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } [ X _ { n - i i + 1 } , \Phi ( F _ { i } ) ] _ { q } X _ { n - i + i 1 } ^ { - 1 } , \; 1 \leq i \leq n - 2 , |
| 88 |
0.057971 |
69 |
${ \cal K } ( A , \bar { A } ) = \alpha { \frac { e ^ { - \varphi ( { \cal G } ( A ) , \overline { { { \cal G } ( A ) } } ) } } { | { \cal G } ^ { 2 } ( A ) - \Lambda ^ { 4 } | } } , $ |
67 |
${ \cal K } ( A , \bar { A } ) = \alpha \frac { e ^ { - \varphi ( { \cal G } ( A ) , \overline { { { \cal A } ( M ) } } ) } } { | { \cal G } ^ { 2 } ( A ) - \Lambda ^ { 4 } | } , $ |
{ \cal K } ( A , \bar { A } ) = \alpha { \frac { e ^ { - \varphi ( { \cal G } ( A ) , \overline { { { \cal G } ( A ) } } ) } } { | { \cal G } ^ { 2 } ( A ) - \Lambda ^ { 4 } | } } , |
{ \cal K } ( A , \bar { A } ) = \alpha \frac { e ^ { - \varphi ( { \cal G } ( A ) , \overline { { { \cal A } ( M ) } } ) } } { | { \cal G } ^ { 2 } ( A ) - \Lambda ^ { 4 } | } , |
| 89 |
0.181818 |
33 |
$T \sim \frac { m } { L ^ { p } } \sim \frac { 1 } { g \ell _ { s } ^ { p + 1 } } . $ |
37 |
$T \sim \sim \frac { m } { L ^ { p } } \sim \frac { 1 } { g ^ { \phi _ { f } ^ { p + 1 } } } . $ |
T \sim \frac { m } { L ^ { p } } \sim \frac { 1 } { g \ell _ { s } ^ { p + 1 } } . |
T \sim \sim \frac { m } { L ^ { p } } \sim \frac { 1 } { g ^ { \phi _ { f } ^ { p + 1 } } } . |
| 90 |
0.150685 |
146 |
${ \bf h _ { \varphi } } = \left( \begin{array} { c c } { e ^ { \varphi / 4 } } & { { \frac { 1 } { 2 } } \, \varphi _ { w } e ^ { - \varphi / 4 } } \\ { 0 } & { e ^ { - \varphi / 4 } } \\ \end{array} \right) , \qquad { \bf \bar { h } _ { \varphi } } = \left( \begin{array} { c c } { e ^ { \varphi / 4 } } & { 0 } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } \, \varphi _ { \bar { w } } e ^ { - \varphi / 4 } } & { e ^ { - \varphi / 4 } } \\ \end{array} \right) . $ |
142 |
$\mathbf { l } _ { \varphi } = \left( \begin{array} { c c } { e ^ { \varphi / 4 } } & { \frac { 1 } { 2 } \; \varphi _ { w } e ^ { - \varphi / 4 } } \\ { 0 } & { e ^ { - \varphi / 4 } } \\ \end{array} \right) , \qquad \bar { \mathbf { k } } _ { \varphi } = \left( \begin{array} { c c } { e ^ { \varphi / 4 } } & { \mathrm { a } } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \, \varphi _ { w } e ^ { - \varphi / 4 } } & { e ^ { - \varphi / 4 } } \\ \end{array} \right) . $ |
{ \bf h _ { \varphi } } = \left( \begIn{array} { c c } { e ^ { \varphi / 4 } } & { { \frac { 1 } { 2 } } \, \varphi _ { w } e ^ { - \varphi / 4 } } \\ { 0 } & { e ^ { - \varphi / 4 } } \\ \end{array} \right) , \qquad { \bf \bar { h } _ { \varphi } } = \left( \begIn{array} { c c } { e ^ { \varphi / 4 } } & { 0 } \\ { - { \frac { 1 } { 2 } } \, \varphi _ { \bar { w } } e ^ { - \varphi / 4 } } & { e ^ { - \varphi / 4 } } \\ \end{array} \right) . |
\mathbf { l } _ { \varphi } = \left( \begIn{array} { c c } { e ^ { \varphi / 4 } } & { \frac { 1 } { 2 } \; \varphi _ { w } e ^ { - \varphi / 4 } } \\ { 0 } & { e ^ { - \varphi / 4 } } \\ \end{array} \right) , \qquad \bar { \mathbf { k } } _ { \varphi } = \left( \begIn{array} { c c } { e ^ { \varphi / 4 } } & { \mathrm { a } } \\ { - \frac { 1 } { 2 } \, \varphi _ { w } e ^ { - \varphi / 4 } } & { e ^ { - \varphi / 4 } } \\ \end{array} \right) . |
| 91 |
0.184211 |
76 |
$T r K _ { \bf a } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { { \bf a } ^ { 2 } } } t } \left( 1 - \Phi ( { \frac { 4 \pi } { \bf a } } \sqrt { t } ) \right) ~ ~ , $ |
67 |
$T r K _ { \bf a } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 4 ^ { 2 } } } \left( 1 - \Phi ( \frac { 4 \pi } { \bf \bf q } \sqrt { t } ) \right) \; \; , $ |
T r K _ { \bf a } ^ { ( 1 ) } = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { { \bf a } ^ { 2 } } } t } \left( 1 - \Phi ( { \frac { 4 \pi } { \bf a } } \sqrt { t } ) \right) ~ ~ , |
T r K _ { \bf a } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 } e ^ { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 4 ^ { 2 } } } \left( 1 - \Phi ( \frac { 4 \pi } { \bf \bf q } \sqrt { t } ) \right) \; \; , |
| 92 |
0.122222 |
90 |
$P ( \ell , \Phi ) = \left[ \ell ^ { 3 } - \frac { \ell ^ { 2 } \, \Phi } { \pi } + \ell \left( \frac { { \Phi } ^ { 2 } } { 2 \, { \pi } ^ { 2 } } - 1 \right) + \frac { 2 \, { \pi } ^ { 2 } \, \Phi - { \Phi } ^ { 3 } } { 8 \, { \pi } ^ { 3 } } \right] , $ |
79 |
$P ( \ell , \Phi ) = \left[ \ell ^ { 3 } - \frac { \ell ^ { 2 } \Phi } { \pi } + \ell \left( \frac { \Phi ^ { 2 } } { 2 \, \pi ^ { 2 } } - 1 \right) + \frac { 2 \, \pi ^ { 2 } \, \Phi - \Phi ^ { 3 } } { 8 \, \pi ^ { 3 } } \right] , $ |
P ( \ell , \Phi ) = \left[ \ell ^ { 3 } - \frac { \ell ^ { 2 } \, \Phi } { \pi } + \ell \left( \frac { { \Phi } ^ { 2 } } { 2 \, { \pi } ^ { 2 } } - 1 \right) + \frac { 2 \, { \pi } ^ { 2 } \, \Phi - { \Phi } ^ { 3 } } { 8 \, { \pi } ^ { 3 } } \right] , |
P ( \ell , \Phi ) = \left[ \ell ^ { 3 } - \frac { \ell ^ { 2 } \Phi } { \pi } + \ell \left( \frac { \Phi ^ { 2 } } { 2 \, \pi ^ { 2 } } - 1 \right) + \frac { 2 \, \pi ^ { 2 } \, \Phi - \Phi ^ { 3 } } { 8 \, \pi ^ { 3 } } \right] , |
| 93 |
0.088889 |
135 |
$\tilde { U } _ { N _ { s } N _ { r } } ( \{ \sigma _ { p } \} ) = \int _ { C _ { v _ { r } } } \Psi _ { \sigma , N _ { s } } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i } P _ { N _ { r } } ( t ) + \int _ { \tilde { C } _ { r } } \Psi _ { \sigma , N _ { s } } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i } P _ { N _ { r } } ^ { ( a ) } ( t ) $ |
128 |
$\widetilde { U } _ { N _ { s } , N } \{ \{ \sigma _ { p } \} ) = \int _ { C _ { r } } \Psi _ { \sigma , N _ { s } } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i } P _ { N _ { r } } ( t ) + \int _ { \tilde { C } _ { \tau } } \Psi _ { \sigma , N _ { s } } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i } P _ { N _ { r } } ^ { ( a ) } ( t ) $ |
\tilde { U } _ { N _ { s } N _ { r } } ( \{ \sigma _ { p } \} ) = \int _ { C _ { v _ { r } } } \Psi _ { \sigma , N _ { s } } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i } P _ { N _ { r } } ( t ) + \int _ { \tilde { C } _ { r } } \Psi _ { \sigma , N _ { s } } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i } P _ { N _ { r } } ^ { ( a ) } ( t ) |
\widetilde { U } _ { N _ { s } , N } \{ \{ \sigma _ { p } \} ) = \int _ { C _ { r } } \Psi _ { \sigma , N _ { s } } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i } P _ { N _ { r } } ( t ) + \int _ { \tilde { C } _ { \tau } } \Psi _ { \sigma , N _ { s } } ( t ) \frac { d \theta d z } { 2 \pi i } P _ { N _ { r } } ^ { ( a ) } ( t ) |
| 94 |
0.177215 |
79 |
$\operatorname { s i n } ^ { 2 } 2 \theta = \frac { 4 } { \sqrt { 1 + \frac { \Delta m ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \frac { \Delta m ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } } \right) $ |
67 |
$\operatorname { s i n } ^ { 2 } 2 \theta = \frac { 4 } { \sqrt { 1 + \Delta \frac { m ^ { 2 } } { m } } } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \frac { \Delta m ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } } \right) $ |
\operatorname { s i n } ^ { 2 } 2 \theta = \frac { 4 } { \sqrt { 1 + \frac { \Delta m ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \frac { \Delta m ^ { 2 } } { m _ { 1 } ^ { 2 } } } } \right) |
\operatorname { s i n } ^ { 2 } 2 \theta = \frac { 4 } { \sqrt { 1 + \Delta \frac { m ^ { 2 } } { m } } } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \frac { \Delta m ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } } \right) |
| 95 |
0.018182 |
55 |
$D ( x ) = \frac { \Gamma ( N / 2 - 1 ) } { 4 \pi ^ { \frac { N } { 2 } } } \frac { i } { ( x ^ { 2 } - i \varepsilon ) ^ { N / 2 - 1 } } . $ |
55 |
$D ( x ) = \frac { \Gamma ( N / 2 - 1 ) } { 4 \pi ^ { \frac { N } { 2 } } } \frac { k } { ( x ^ { 2 } - i \varepsilon ) ^ { N / 2 - 1 } } . $ |
D ( x ) = \frac { \Gamma ( N / 2 - 1 ) } { 4 \pi ^ { \frac { N } { 2 } } } \frac { i } { ( x ^ { 2 } - i \varepsilon ) ^ { N / 2 - 1 } } . |
D ( x ) = \frac { \Gamma ( N / 2 - 1 ) } { 4 \pi ^ { \frac { N } { 2 } } } \frac { k } { ( x ^ { 2 } - i \varepsilon ) ^ { N / 2 - 1 } } . |
| 96 |
0.050505 |
99 |
$g _ { 3 } ^ { 2 } = T g ^ { 2 } ( \overline { { \mu } } ) \biggl [ 1 + { \frac { g ^ { 2 } ( \overline { { \mu } } ) } { 4 8 \pi ^ { 2 } } } \biggl ( ( 2 2 N - N _ { s } ) { \frac { L _ { b } } { 2 } } - N _ { f } L _ { f } + N \biggr ) \biggr ] . $ |
94 |
$g _ { 3 } ^ { 2 } = T g ^ { 2 } ( \overline { { \mu } } ) \biggl [ 1 + \frac { g ^ { 2 } ( \overline { { \mu } } ) } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \biggl ( ( 2 2 N - N _ { s } ) \frac { L _ { b } } { 2 } - N _ { f } L _ { f } + N \biggr ) ] . $ |
g _ { 3 } ^ { 2 } = T g ^ { 2 } ( \overline { { \mu } } ) \biggl [ 1 + { \frac { g ^ { 2 } ( \overline { { \mu } } ) } { 4 8 \pi ^ { 2 } } } \biggl ( ( 2 2 N - N _ { s } ) { \frac { L _ { b } } { 2 } } - N _ { f } L _ { f } + N \biggr ) \biggr ] . |
g _ { 3 } ^ { 2 } = T g ^ { 2 } ( \overline { { \mu } } ) \biggl [ 1 + \frac { g ^ { 2 } ( \overline { { \mu } } ) } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \biggl ( ( 2 2 N - N _ { s } ) \frac { L _ { b } } { 2 } - N _ { f } L _ { f } + N \biggr ) ] . |
| 97 |
0.190476 |
63 |
$a _ { i } : = \operatorname { d i m } ( J + \omega _ { i } ) = \frac { ( k + 1 ) \dots ( \widehat { k + i } ) \dots ( k + N ) } { ( i - 1 ) ! \, ( N - i ) ! } \; . $ |
68 |
$a _ { i } : = \mathrm { d i m } ( J + \omega _ { i } ) = { \frac { ( k + 1 ) \ldots ( | { \overline { k } } + i ) \ldots ( k + N ) } { ( i - 1 ) ! \, ( N - i ) ! } } \ . $ |
a _ { i } : = \operatorname { d i m } ( J + \omega _ { i } ) = \frac { ( k + 1 ) \dots ( \widehat { k + i } ) \dots ( k + N ) } { ( i - 1 ) ! \, ( N - i ) ! } \; . |
a _ { i } : = \mathrm { d i m } ( J + \omega _ { i } ) = { \frac { ( k + 1 ) \ldots ( | { \overline { k } } + i ) \ldots ( k + N ) } { ( i - 1 ) ! \, ( N - i ) ! } } \ . |
| 98 |
0.100000 |
40 |
$S _ { D } = \frac { 1 } { D - 1 } \sum _ { i \neq j } ^ { D } S ( M _ { i } , M _ { j } ) $ |
36 |
$S _ { D } = \frac { 1 } { D - 1 } \sum _ { i \neq j } S ( M _ { i } , M _ { j } ) $ |
S _ { D } = \frac { 1 } { D - 1 } \sum _ { i \neq j } ^ { D } S ( M _ { i } , M _ { j } ) |
S _ { D } = \frac { 1 } { D - 1 } \sum _ { i \neq j } S ( M _ { i } , M _ { j } ) |
| 99 |
0.136364 |
88 |
$u ( p ) = \frac { P ^ { 2 } p - ( P . p ) P } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P . p ) ^ { 2 } } \; \; \; \; \; , \; \; \; \; \; v ( p ) = \frac { P \times p } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P . p ) ^ { 2 } } . $ |
80 |
$u ( p ) = \frac { P ^ { 2 } p - ( P . p ) P } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P ; p ) ^ { 2 } } \quad , \quad v ( p ) = \frac { P \times p } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P , p ) ^ { 2 } } . $ |
u ( p ) = \frac { P ^ { 2 } p - ( P . p ) P } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P . p ) ^ { 2 } } \; \; \; \; \; , \; \; \; \; \; v ( p ) = \frac { P \times p } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P . p ) ^ { 2 } } . |
u ( p ) = \frac { P ^ { 2 } p - ( P . p ) P } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P ; p ) ^ { 2 } } \quad , \quad v ( p ) = \frac { P \times p } { P ^ { 2 } p ^ { 2 } - ( P , p ) ^ { 2 } } . |